描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：16, 37, 26, 32, 20, 28, 57。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。求成绩 62.5 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 15x = 62.5
z =
3.概率中等
袋中有 4 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
4 / 7
P =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.3 赢得 €6，以概率 0.02 赢得 €30；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €3€6: p = 0.3€30: p = 0.02
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9838。求 z，保留两位小数。
A = 0.9838
z =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
7.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 67，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 21x̄ = 67s = 4.590%t(20) = 1.725
下限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 87.5 kg，标准差 7 kg。地块组 2：7 块地，均值 96.5 kg，标准差 1.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 7x̄₁ = 87.5s₁ = 7n₂ = 7x̄₂ = 96.5s₂ = 1.595%t(12) = 2.179
上限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 96.33，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 96.33s = 10n = 36
t =
10.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 116.6。总体标准差为 8。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 116.6σ = 8n = 1699%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 80Σx² = 364Σy² = 1266Σxy = 674
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。
n = 6x = 9
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 216/7 = 30.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−14.86)² + 6.143² + (−4.857)² + 1.143² + (−10.86)² + (−2.857)² + 26.14² = 1093
标准差
s = √(1093/6) = 13.5
答案
s = 13.5
2.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (62.5 − 70)/15 = −0.5
答案
z = −0.5
3.概率
答案: P = 0.1091
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0.1091
答案
P = 0.1091
4.概率
答案: E(G) = −0.6 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 3 (p = 0.3), 27 (p = 0.02), −3 (p = 0.68)
期望值
E(G) = 3·0.3 + 27·0.02 − 3·0.68 = −0.6 €
答案
E(G) = −0.6 €
负值表示平均而言你会亏钱。
5.正态分布
答案: z = −2.14
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9838 = 0.0162
反向查 z 表
在表中找到 0.0162，读出 z。
z = −2.14
答案
z = −2.14
6.正态分布
答案: x = 466.3 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h
答案
x = 466.34 h
7.置信区间
答案: 下限 = 65.31
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 1.725
误差范围
E = 1.725·4.5/√21 = 1.694
区间
67 ± 1.694 → [65.31, 68.69]
答案
下限 = 65.31
8.置信区间
答案: 上限 = −3.104 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·7² + 6·1.5²)/12 = 25.63
sp = 5.062
误差范围
E = 2.179·5.062·√(1/7 + 1/7) = 5.896
区间
−9 ± 5.896 → [−14.9, −3.104]
答案
上限 = −3.104 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.202
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667
检验统计量
t = (96.33 − 100)/1.667 = −2.202
答案
t = −2.202
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 111.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·8/√16 = 5.152
区间端点
L = 116.6 − 5.152 = 111.4
答案
L = 111.4
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9651
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 674 − 42·80/6 = 114
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1266 − 80²/6 = 199.3
相关系数
r = 114/√(70·199.3) = 0.9651
答案
r = 0.9651
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 31.74
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 150/6 = 25
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
回归直线
b = 236/70 = 3.371
a = 25 − 3.371·7 = 1.4
ŷ = 1.4 + 3.371·x
预测
ŷ = 1.4 + 3.371·9 = 31.74
答案
ŷ = 31.74
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