描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 38, 40, 28, 53。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值低于 38 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 10x = 38
P =
3.概率中等
袋中有 4 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
4 / 8
P =
4.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.25k = 4
P =
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 45.5 和 85 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 45.5x2 = 85
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 40% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
7.置信区间中等
一个包含 11 个个体的样本，均值为 54.5，标准差 s = 7.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 11x̄ = 54.5s = 7.595%t(10) = 2.228
下限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 32.5 kg，标准差 2.5 kg。地块组 2：10 块地，均值 27 kg，标准差 5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。
n₁ = 7x̄₁ = 32.5s₁ = 2.5n₂ = 10x̄₂ = 27s₂ = 599%t(15) = 2.947
下限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 196.4，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 196.4s = 20n = 100
t =
10.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 199.9。总体标准差为 5。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 199.9σ = 5n = 10099%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 120Σy = 260Σx² = 2470Σy² = 12226Σxy = 5452
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 23 时的 ŷ。
n = 5x = 23
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.27
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 171/5 = 34.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−22.2)² + 3.8² + 5.8² + (−6.2)² + 18.8² = 932.8
标准差
s = √(932.8/4) = 15.27
答案
s = 15.27
2.描述统计
答案: P = 0.1151
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151
答案
P = 0.1151
3.概率
答案: P = 0.09091
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0.09091
答案
P = 0.09091
4.概率
答案: P = 0.01465
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 4) = 5·0.254·0.751 = 5·0.003906·0.75 = 0.01465
答案
P = 0.01465
5.正态分布
答案: P = 0.9517
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (45.5 − 65)/10 = −1.95
z₂ = (85 − 65)/10 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(−1.95) = 0.9772 − 0.02559 = 0.9517
答案
P = 0.9517
6.正态分布
答案: x = 176.3 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.4
由表得到的 z
z ≈ −0.25
回到原来的单位
x = 178 − 0.25·7 = 176.3 cm
答案
x = 176.3 cm
7.置信区间
答案: 下限 = 49.46
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 10, t = 2.228
误差范围
E = 2.228·7.5/√11 = 5.038
区间
54.5 ± 5.038 → [49.46, 59.54]
答案
下限 = 49.46
8.置信区间
答案: 下限 = −0.5754 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·2.5² + 9·5²)/15 = 17.5
sp = 4.183
误差范围
E = 2.947·4.183·√(1/7 + 1/10) = 6.075
区间
5.5 ± 6.075 → [−0.5754, 11.58]
答案
下限 = −0.5754 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
检验统计量
t = (196.4 − 200)/2 = −1.8
答案
t = −1.8
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 198.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·5/√100 = 1.288
区间端点
L = 199.9 − 1.288 = 198.6
答案
L = 198.6
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9724
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 5452 − 120·260/6 = 252
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 12226 − 260²/6 = 959.3
相关系数
r = 252/√(70·959.3) = 0.9724
答案
r = 0.9724
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 85.6
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 408/5 = 81.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
回归直线
b = 160/40 = 4
a = 81.6 − 4·22 = −6.4
ŷ = −6.4 + 4·x
预测
ŷ = −6.4 + 4·23 = 85.6
答案
ŷ = 85.6
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