统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：57, 21, 60, 23, 57, 22, 24。

n = 7

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 45 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 5x = 45

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.1, 0.25, 0.05, 0.25

σ =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 1。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.2, 0.35, 0.15Y = 0.5X + 1

σ_Y =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0119。求 z，保留两位小数。

A = 0.0119

z =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 85% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

7.置信区间中等

一个包含 16 个个体的样本，均值为 33.5，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 16x̄ = 33.5s = 19.590%t(15) = 1.753

下限 =

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：11 块地，平均产量 93.5 kg，标准差 8 kg。地块组 2：5 块地，均值 90 kg，标准差 6.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 11x̄₁ = 93.5s₁ = 8n₂ = 5x̄₂ = 90s₂ = 6.590%t(14) = 1.761

下限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 107.5 mm，该生产线的已知标准差为 4 mm。生产线 2：30 个零件的样本均值为 103.3 mm，已知标准差为 6 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 107.5 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 30x̄₂ = 103.3 mmσ₂ = 6 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

36 次测量的样本均值为 119.2。总体标准差为 5。求均值 90% 置信区间的上限 U。

x̄ = 119.2σ = 5n = 3690%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 5？

n = 6ŷ = 5

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 19.02

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 264/7 = 37.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = 19.29² + (−16.71)² + 22.29² + (−14.71)² + 19.29² + (−15.71)² + (−13.71)² = 2171

标准差

s = √(2171/6) = 19.02

答案

s = 19.02

2.描述统计

答案: z = −1

标准化

z = (45 − 50)/5 = −1

答案

z = −1

3.概率

答案: σ = 1.577

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.25 + 4·0.05 + 5·0.25 = 2.75

平方的均值

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.25 + 16·0.05 + 25·0.25 = 10.05

方差

Var(X) = 10.05 − 2.75² = 2.488

σ = √2.488 = 1.577

答案

σ = 1.577

4.概率

答案: σ_Y = 0.5309

X 的离散程度

μ = 1.35, Var(X) = 1.128, σ_X = 1.062

线性变换

σ_Y = |0.5|·1.062 = 0.5309

答案

σ_Y = 0.5309

均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1.35 + 1 = 1.675。

5.正态分布

答案: z = 2.26

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0119 = 0.9881

反向查 z 表

在表中找到 0.9881，读出 z。

z = 2.26

答案

z = 2.26

6.正态分布

答案: x = 542 h

左侧的面积

Φ(z) = 0.85

由表得到的 z

z ≈ 1.04

回到原来的单位

x = 500 + 1.04·40 = 542 h

答案

x = 542 h

7.置信区间

答案: 下限 = 24.95

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 1.753

误差范围

E = 1.753·19.5/√16 = 8.546

区间

33.5 ± 8.546 → [24.95, 42.05]

答案

下限 = 24.95

8.置信区间

答案: 下限 = −3.72 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (10·8² + 4·6.5²)/14 = 57.79

s_p = 7.602

误差范围

E = 1.761·7.602·√(1/11 + 1/5) = 7.22

区间

3.5 ± 7.22 → [−3.72, 10.72]

答案

下限 = −3.72 kg

9.假设检验与置信区间

答案: z = 3.19

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(4²/30 + 6²/30) = √1.733 = 1.317

检验统计量

z = (107.5 − 103.3)/1.317 = 3.19

答案

z = 3.19

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 120.6

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·5/√36 = 1.371

区间端点

U = 119.2 + 1.371 = 120.6

答案

U = 120.6

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9858

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 311/5 = 62.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 578.8

答案

r = 0.9858

12.线性回归与相关

答案: x = 3.111

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 61/6 = 10.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93

回归直线

b = 93/70 = 1.329

a = 10.17 − 1.329·7 = 0.8667

ŷ = 0.8667 + 1.329·x

解出 x

x = (5 − 0.8667)/1.329 = 3.111

答案

x = 3.111

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1