描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：22, 50, 36, 14, 12。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。求成绩 155 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 15x = 155
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
Var(X) =
4.概率困难
测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 12p = 0.6
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9651。求 z，保留两位小数。
A = 0.9651
z =
6.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 99%
x = min
7.置信区间中等
测量 6 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 9.1，标准差为 5.7。 求平均差值的 99% 置信区间的上限。
n = 6d̄ = 9.1sd = 5.799%t(5) = 4.032
上限 = mmHg
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 25.5 kg，标准差 3 kg。地块组 2：5 块地，均值 18.5 kg，标准差 4.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 7x̄₁ = 25.5s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 18.5s₂ = 4.595%t(10) = 2.228
E = kg
9.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 96.86，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 96.86s = 10n = 49
t =
10.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 46.8。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 46.8σ = 20n = 10099%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 19 时的 ŷ。
n = 6x = 19
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.04
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 134/5 = 26.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−4.8)² + 23.2² + 9.2² + (−12.8)² + (−14.8)² = 1029
标准差
s = √(1029/4) = 16.04
答案
s = 16.04
2.描述统计
答案: z = −1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (155 − 170)/15 = −1
答案
z = −1
3.概率
答案: Var(X) = 0.6475
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
方差
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
答案
Var(X) = 0.6475
4.概率
答案: P = 0.0003188
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.412 = 1.678 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 12·0.6·0.411 = 0.000302
相加
P = 1.678 × 10⁻⁵ + 0.000302 = 0.0003188
答案
P = 0.0003188
5.正态分布
答案: z = 2.11
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9651)/2 = 0.9826
反向查 z 表
在表中找到 0.9826，读出 z。
z = 2.11
答案
z = 2.11
6.正态分布
答案: x = 45.96 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min
答案
x = 45.96 min
7.置信区间
答案: 上限 = 18.48 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 5, t = 4.032
误差范围
E = 4.032·5.7/√6 = 9.383
区间
9.1 ± 9.383 → [−0.2825, 18.48]
答案
上限 = 18.48 mmHg
8.置信区间
答案: E = 4.793 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·3² + 4·4.5²)/10 = 13.5
sp = 3.674
误差范围
E = 2.228·3.674·√(1/7 + 1/5) = 4.793
答案
E = 4.793 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.198
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429
检验统计量
t = (96.86 − 100)/1.429 = −2.198
答案
t = −2.198
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 51.95
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·20/√100 = 5.152
区间端点
U = 46.8 + 5.152 = 51.95
答案
U = 51.95
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.869
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 116/6 = 19.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Syy = Σ(y − ȳ)² = 67.33
决定系数
r² = −32²/(17.5·67.33) = 0.869
答案
r² = 0.869
y 的变异中约有 86.9% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 51.17
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 307/6 = 51.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 263
回归直线
b = 263/70 = 3.757
a = 51.17 − 3.757·19 = −20.22
ŷ = −20.22 + 3.757·x
预测
ŷ = −20.22 + 3.757·19 = 51.17
答案
ŷ = 51.17
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