统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：14, 19, 57, 21, 49, 49, 14。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值低于 57.2 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 57.2

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.35, 0.3, 0.15

Var(X) =

4.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.3 赢得 €10，以概率 0.05 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€10: p = 0.3€40: p = 0.05

E(G) = €

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1190。求 z，保留两位小数。

A = 0.1190

z =

6.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.置信区间中等

一个包含 15 个个体的样本，均值为 104，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 15x̄ = 104s = 19.595%t(14) = 2.145

下限 =

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：13 块地，平均产量 19 kg，标准差 9 kg。地块组 2：8 块地，均值 24.5 kg，标准差 4 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 13x̄₁ = 19s₁ = 9n₂ = 8x̄₂ = 24.5s₂ = 490%t(19) = 1.729

上限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 501.9，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 501.9s = 8n = 49

t =

10.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 497.4。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的上限 U。

x̄ = 497.4σ = 4n = 1690%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 288Σx² = 55Σy² = 16802Σxy = 909

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3 时的 ŷ。

n = 5x = 3

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 18.89

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 223/7 = 31.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−17.86)² + (−12.86)² + 25.14² + (−10.86)² + 17.14² + 17.14² + (−17.86)² = 2141

标准差

s = √(2141/6) = 18.89

答案

s = 18.89

2.描述统计

答案: P = 0.7257

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答案

P = 0.7257

3.概率

答案: Var(X) = 0.94

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.35 + 2·0.3 + 3·0.15 = 1.4

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.35 + 4·0.3 + 9·0.15 = 2.9

方差

Var(X) = 2.9 − 1.4² = 0.94

答案

Var(X) = 0.94

4.概率

答案: E(G) = 3 €

净结果

G: 8 (p = 0.3), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.65)

期望值

E(G) = 8·0.3 + 38·0.05 − 2·0.65 = 3 €

答案

E(G) = 3 €

正值表示平均而言你会赢钱。

5.正态分布

答案: z = 1.18

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.1190 = 0.8810

反向查 z 表

在表中找到 0.8810，读出 z。

z = 1.18

答案

z = 1.18

6.正态分布

答案: P = 0.8665

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11

概率

P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665

答案

P = 0.8665

7.置信区间

答案: 下限 = 93.2

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 14, t = 2.145

误差范围

E = 2.145·19.5/√15 = 10.8

区间

104 ± 10.8 → [93.2, 114.8]

答案

下限 = 93.2

8.置信区间

答案: 上限 = 0.3685 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (12·9² + 7·4²)/19 = 57.05

s_p = 7.553

误差范围

E = 1.729·7.553·√(1/13 + 1/8) = 5.868

区间

−5.5 ± 5.868 → [−11.37, 0.3685]

答案

上限 = 0.3685 kg

9.假设检验与置信区间

答案: t = 1.662

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143

检验统计量

t = (501.9 − 500)/1.143 = 1.662

答案

t = 1.662

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 499

误差范围

E = 1.645·4/√16 = 1.645

区间端点

U = 497.4 + 1.645 = 499

答案

U = 499

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9746

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 909 − 15·288/5 = 45

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 16802 − 288²/5 = 213.2

答案

r = 0.9746

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 12.7

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 122/5 = 24.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

回归直线

b = 156/40 = 3.9

a = 24.4 − 3.9·6 = 1

ŷ = 1 + 3.9·x

预测

ŷ = 1 + 3.9·3 = 12.7

答案

ŷ = 12.7

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