描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：28, 42, 30, 47, 20, 14, 32。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。数值高于 92.5 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 15x = 92.5
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 4 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 4
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.1, 0.15, 0.2Y = −2X − 3
σY =
5.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 100.75 和 118.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 100.75x2 = 118.75
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 65.5，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 9x̄ = 65.5s = 4.599%t(8) = 3.355
上限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：21 块地，平均产量 88.5 kg，标准差 6 kg。地块组 2：10 块地，均值 82 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 21x̄₁ = 88.5s₁ = 6n₂ = 10x̄₂ = 82s₂ = 990%t(29) = 1.699
E = kg
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 88.5，标准差 9。第 2 组：7 名学生，平均分 98.6，标准差 2。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 7x̄₁ = 88.5s₁ = 9n₂ = 7x̄₂ = 98.6s₂ = 2
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 25 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 30 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 30n₂ = 100
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 79Σx² = 55Σy² = 1331Σxy = 210
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 22？
n = 6ŷ = 22
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.52
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 213/7 = 30.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−2.429)² + 11.57² + (−0.4286)² + 16.57² + (−10.43)² + (−16.43)² + 1.571² = 795.7
标准差
s = √(795.7/6) = 11.52
答案
s = 11.52
2.描述统计
答案: P = 0.6915
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答案
P = 0.6915
3.概率
答案: P = 0.5177
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
答案
P = 0.5177
4.概率
答案: σY = 2.958
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.75, Var(X) = 2.188, σX = 1.479
线性变换
σY = |−2|·1.479 = 2.958
答案
σY = 2.958
均值确实会改变：E(Y) = −2·1.75 − 3 = −6.5。
5.正态分布
答案: P = 0.3744
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (100.75 − 100)/15 = 0.05
z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(0.05) = 0.8944 − 0.5199 = 0.3744
答案
P = 0.3744
6.正态分布
答案: P = 0.9868
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22
概率
P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868
答案
P = 0.9868
7.置信区间
答案: 上限 = 70.53
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 3.355
误差范围
E = 3.355·4.5/√9 = 5.032
区间
65.5 ± 5.032 → [60.47, 70.53]
答案
上限 = 70.53
8.置信区间
答案: E = 4.614 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (20·6² + 9·9²)/29 = 49.97
sp = 7.069
误差范围
E = 1.699·7.069·√(1/21 + 1/10) = 4.614
答案
E = 4.614 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.898
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (6·9² + 6·2²)/12 = 42.5
sp = 6.519
标准误
SE = 6.519·√(1/7 + 1/7) = 3.485
检验统计量
t = (88.5 − 98.6)/3.485 = −2.898
答案
t = −2.898
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −0.7918
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 25/100 = 0.25
p̂₂ = 30/100 = 0.3
p̂ = 55/200 = 0.275
H₀ 下的标准误
SE = √(0.275·0.725·(1/100 + 1/100)) = 0.06315
检验统计量
z = (0.25 − 0.3)/0.06315 = −0.7918
答案
z = −0.7918
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = −0.9383
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 210 − 15·79/5 = −27
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1331 − 79²/5 = 82.8
相关系数
r = −27/√(10·82.8) = −0.9383
答案
r = −0.9383
12.线性回归与相关
答案: x = 10.78
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 87/6 = 14.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 139
回归直线
b = 139/70 = 1.986
a = 14.5 − 1.986·7 = 0.6
ŷ = 0.6 + 1.986·x
解出 x
x = (22 − 0.6)/1.986 = 10.78
答案
x = 10.78
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