描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：46, 13, 30, 15, 11, 25, 34。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值高于 68 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 12x = 68
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.25, 0.3, 0.2, 0.1
Var(X) =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.15, 0.35, 0.25Y = 3X + 10
σY =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9606。求 z，保留两位小数。
A = 0.9606
z =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
7.置信区间中等
测量 11 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 1.4，标准差为 1.4。 求平均差值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 11d̄ = 1.4sd = 1.495%t(10) = 2.228
E = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 14。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 14E = 390%
n =
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 25。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 46.95。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ < 50。求 p 值 p。
μ₀ = 50σ = 25n = 100x̄ = 46.95H₁: μ < μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 53.6。总体标准差为 12。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 53.6σ = 12n = 2599%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 347Σx² = 364Σy² = 20855Σxy = 2658
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (27.5, 105)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(27.5, 105)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 12.82
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 174/7 = 24.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = 21.14² + (−11.86)² + 5.143² + (−9.857)² + (−13.86)² + 0.1429² + 9.143² = 986.9
标准差
s = √(986.9/6) = 12.82
答案
s = 12.82
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: Var(X) = 1.427
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.15 + 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.2 + 4·0.1 = 1.85
平方的均值
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.2 + 16·0.1 = 4.85
方差
Var(X) = 4.85 − 1.85² = 1.427
答案
Var(X) = 1.427
4.概率
答案: σY = 33.41
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 26, Var(X) = 124, σX = 11.14
线性变换
σY = |3|·11.14 = 33.41
答案
σY = 33.41
均值确实会改变：E(Y) = 3·26 + 10 = 88。
5.正态分布
答案: z = 2.06
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9606)/2 = 0.9803
反向查 z 表
在表中找到 0.9803，读出 z。
z = 2.06
答案
z = 2.06
6.正态分布
答案: x = 551.3 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h
答案
x = 551.26 h
7.置信区间
答案: E = 0.9405 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 10, t = 2.228
误差范围
E = 2.228·1.4/√11 = 0.9405
答案
E = 0.9405 mmHg
8.置信区间
答案: n = 59
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·14/3)² = 58.93
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 59
答案
n = 59
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.1112
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 25/√100 = 2.5
z = (46.95 − 50)/2.5 = −1.22
尾部面积
Φ(1.22) = 0.8888
1 − Φ(1.22) = 0.1112
p 值
p = 0.1112
答案
p = 0.1112
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 59.78
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·12/√25 = 6.182
区间端点
U = 53.6 + 6.182 = 59.78
答案
U = 59.78
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9758
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 2658 − 42·347/6 = 229
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 20855 − 347²/6 = 786.8
相关系数
r = 229/√(70·786.8) = 0.9758
答案
r = 0.9758
12.线性回归与相关
答案: e = −4.057
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 129/6 = 21.5
ȳ = 498/6 = 83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 684
回归直线
b = 684/157.5 = 4.343
a = 83 − 4.343·21.5 = −10.37
ŷ = −10.37 + 4.343·x
预测值
ŷ = −10.37 + 4.343·27.5 = 109.1
残差
e = 105 − 109.1 = −4.057
答案
e = −4.057
该点位于直线下方。
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