描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：35, 56, 28, 37, 45。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。数值高于 140 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 20x = 140
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.2, 0.1, 0.25Y = 10X − 3
σY =
5.正态分布中等
水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 228 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 9> 228 kg
P =
6.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 20%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 16 个个体的样本，均值为 48.5，标准差 s = 14.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 16x̄ = 48.5s = 14.599%t(15) = 2.947
下限 =
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.7 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.02？
p ≈ 0.7E = 0.0295%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 133 mm，该生产线的已知标准差为 9 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 134.9 mm，已知标准差为 6 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 133 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 80x̄₂ = 134.9 mmσ₂ = 6 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 10。求最小样本量 n。
σ = 10E = 399%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (7, 17)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(7, 17)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 10.71
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 201/5 = 40.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−5.2)² + 15.8² + (−12.2)² + (−3.2)² + 4.8² = 458.8
标准差
s = √(458.8/4) = 10.71
答案
s = 10.71
2.描述统计
答案: P = 0.02275
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 2
标准正态分布表
Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
答案
P = 0.02275
3.概率
答案: σ = 0.8047
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
方差
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047
答案
σ = 0.8047
4.概率
答案: σY = 15.58
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.85, Var(X) = 2.427, σX = 1.558
线性变换
σY = |10|·1.558 = 15.58
答案
σY = 15.58
均值确实会改变：E(Y) = 10·1.85 − 3 = 15.5。
5.正态分布
答案: P = 0.02275
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 225 kg, σT = 0.5·√9 = 1.5 kg
标准化
z = (228 − 225)/1.5 = 2
概率
P = 1 − Φ(2) = 0.02275
答案
P = 0.02275
6.正态分布
答案: x = 56.58 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 65 + −0.8416·10 = 56.58 分
答案
x = 56.58 分
7.置信区间
答案: 下限 = 37.82
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 15, t = 2.947
误差范围
E = 2.947·14.5/√16 = 10.68
区间
48.5 ± 10.68 → [37.82, 59.18]
答案
下限 = 37.82
8.置信区间
答案: n = 2017
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.7·0.3/0.02² = 2017
向上取整
n = 2017
答案
n = 2017
9.假设检验与置信区间
答案: z = −1.571
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(9²/80 + 6²/80) = √1.462 = 1.209
检验统计量
z = (133 − 134.9)/1.209 = −1.571
答案
z = −1.571
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 74
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·10/3)² = 73.73
向上取整
n = 74
答案
n = 74
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9937
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 520/6 = 86.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 450
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2911
决定系数
r² = 450²/(70·2911) = 0.9937
答案
r² = 0.9937
y 的变异中约有 99.37% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = −4.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 91/5 = 18.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
回归直线
b = 118/40 = 2.95
a = 18.2 − 2.95·6 = 0.5
ŷ = 0.5 + 2.95·x
预测值
ŷ = 0.5 + 2.95·7 = 21.15
残差
e = 17 − 21.15 = −4.15
答案
e = −4.15
该点位于直线下方。
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