描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：41, 52, 20, 10, 30, 26, 40。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 560 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 40x = 560
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
Var(X) =
4.概率困难
测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.2
P =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 166.8 和 185 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 166.8x2 = 185
P =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 15% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分15%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 10 个个体的样本，均值为 36.5，标准差 s = 17。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 10x̄ = 36.5s = 1790%t(9) = 1.833
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 23E = 290%
n =
9.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 98.2，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 98.2s = 12n = 36
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 49.45。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 50μ = 49.45σ = 5n = 100α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 124Σx² = 91Σy² = 2600Σxy = 411
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 79？
n = 5ŷ = 79
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 219/7 = 31.29
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9.714² + 20.71² + (−11.29)² + (−21.29)² + (−1.286)² + (−5.286)² + 8.714² = 1209
标准差
s = √(1209/6) = 14.2
答案
s = 14.2
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (560 − 500)/40 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: Var(X) = 0.6475
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55
方差
Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
答案
Var(X) = 0.6475
4.概率
答案: P = 0.3758
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.810 = 0.1074
P(X = 1) = 10·0.2·0.89 = 0.2684
相加
P = 0.1074 + 0.2684 = 0.3758
答案
P = 0.3758
5.正态分布
答案: P = 0.7865
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (166.8 − 178)/7 = −1.6
z₂ = (185 − 178)/7 = 1
中间面积
P = Φ(1) − Φ(−1.6) = 0.8413 − 0.0548 = 0.7865
答案
P = 0.7865
6.正态分布
答案: x = 54.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 65 − 1.04·10 = 54.6 分
答案
x = 54.6 分
7.置信区间
答案: 下限 = 26.65
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 9, t = 1.833
误差范围
E = 1.833·17/√10 = 9.854
区间
36.5 ± 9.854 → [26.65, 46.35]
答案
下限 = 26.65
8.置信区间
答案: n = 358
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·23/2)² = 357.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 358
答案
n = 358
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
检验统计量
t = (98.2 − 100)/2 = −0.9
答案
t = −0.9
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 29.29 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 50 − 1.645·0.5 = 49.18
真实均值下的 z
z = (49.18 − 49.45)/0.5 = −0.545
功率
功效 = P(Z < −0.545) = 29.29%
1 − β = 29.29%
答案
1 − β = 29.29%
11.线性回归与相关
答案: r = −0.8998
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 411 − 21·124/6 = −23
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2600 − 124²/6 = 37.33
相关系数
r = −23/√(17.5·37.33) = −0.8998
答案
r = −0.8998
12.线性回归与相关
答案: x = 9.974
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 337/5 = 67.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
回归直线
b = 156/40 = 3.9
a = 67.4 − 3.9·7 = 40.1
ŷ = 40.1 + 3.9·x
解出 x
x = (79 − 40.1)/3.9 = 9.974
答案
x = 9.974
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