描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：16, 42, 47, 21, 41, 38, 32。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。求成绩 27.5 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 15x = 27.5
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.05, 0.25, 0.35
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.25 赢得 €4，以概率 0.02 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€4: p = 0.25€50: p = 0.02
E(G) = €
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 49.5 和 77 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 49.5x2 = 77
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 15% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm15%
x = cm
7.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 24.5，标准差 s = 11。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 20x̄ = 24.5s = 1199%t(19) = 2.861
上限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 18E = 0.590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：60 个零件的样本平均长度为 60.5 mm，该生产线的已知标准差为 19 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 53.1 mm，已知标准差为 16 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 60x̄₁ = 60.5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 40x̄₂ = 53.1 mmσ₂ = 16 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 20。求最小样本量 n。
σ = 20E = 295%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 104Σx² = 55Σy² = 2236Σxy = 286
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 4 时的 ŷ。
n = 5x = 4
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.51
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 237/7 = 33.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−17.86)² + 8.143² + 13.14² + (−12.86)² + 7.143² + 4.143² + (−1.857)² = 794.9
标准差
s = √(794.9/6) = 11.51
答案
s = 11.51
2.描述统计
答案: z = −1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (27.5 − 50)/15 = −1.5
答案
z = −1.5
3.概率
答案: σ = 1.281
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.25 + 4·0.35 = 2.6
平方的均值
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.25 + 16·0.35 = 8.4
方差
Var(X) = 8.4 − 2.6² = 1.64
σ = √1.64 = 1.281
答案
σ = 1.281
4.概率
答案: E(G) = 1 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 3 (p = 0.25), 49 (p = 0.02), −1 (p = 0.73)
期望值
E(G) = 3·0.25 + 49·0.02 − 1·0.73 = 1 €
答案
E(G) = 1 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.8244
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (49.5 − 65)/10 = −1.55
z₂ = (77 − 65)/10 = 1.2
中间面积
P = Φ(1.2) − Φ(−1.55) = 0.8849 − 0.06057 = 0.8244
答案
P = 0.8244
6.正态分布
答案: x = 185.3 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.85
由表得到的 z
z ≈ 1.04
回到原来的单位
x = 178 + 1.04·7 = 185.3 cm
答案
x = 185.3 cm
7.置信区间
答案: 上限 = 31.54
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 2.861
误差范围
E = 2.861·11/√20 = 7.037
区间
24.5 ± 7.037 → [17.46, 31.54]
答案
上限 = 31.54
8.置信区间
答案: n = 3508
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·18/0.5)² = 3507
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 3508
答案
n = 3508
9.假设检验与置信区间
答案: z = 2.1
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(19²/60 + 16²/40) = √12.42 = 3.524
检验统计量
z = (60.5 − 53.1)/3.524 = 2.1
答案
z = 2.1
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 385
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·20/2)² = 384.2
向上取整
n = 385
答案
n = 385
11.线性回归与相关
答案: r = −0.9636
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 286 − 15·104/5 = −26
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2236 − 104²/5 = 72.8
相关系数
r = −26/√(10·72.8) = −0.9636
答案
r = −0.9636
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 44.55
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 238/5 = 47.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122
回归直线
b = 122/40 = 3.05
a = 47.6 − 3.05·5 = 32.35
ŷ = 32.35 + 3.05·x
预测
ŷ = 32.35 + 3.05·4 = 44.55
答案
ŷ = 44.55
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