描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：44, 33, 35, 41, 18, 10, 34。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。求成绩 700 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 100x = 700
z =
3.概率中等
从 9 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 9k = 4
N =
4.概率困难
测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.5 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.5
P =
5.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 88 和 130 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 88x2 = 130
P =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 60% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分60%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 23.5，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 25x̄ = 23.5s = 1399%t(24) = 2.797
上限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 38。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 38E = 2.599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 97.2，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 97.2s = 8n = 16
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 19。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 95%δ = 5σ = 19zα = 2.326zβ = 1.645
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。
n = 6x = 2.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 12.3
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 215/7 = 30.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = 13.29² + 2.286² + 4.286² + 10.29² + (−12.71)² + (−20.71)² + 3.286² = 907.4
标准差
s = √(907.4/6) = 12.3
答案
s = 12.3
2.描述统计
答案: z = 2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (700 − 500)/100 = 2
答案
z = 2
3.概率
答案: N = 126
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
答案
N = 126
4.概率
答案: P = 0.1094
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.56 = 0.01563
P(X = 1) = 6·0.5·0.55 = 0.09375
相加
P = 0.01563 + 0.09375 = 0.1094
答案
P = 0.1094
5.正态分布
答案: P = 0.7654
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (88 − 100)/15 = −0.8
z₂ = (130 − 100)/15 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(−0.8) = 0.9772 − 0.2119 = 0.7654
答案
P = 0.7654
6.正态分布
答案: x = 62.5 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.4
由表得到的 z
z ≈ −0.25
回到原来的单位
x = 65 − 0.25·10 = 62.5 分
答案
x = 62.5 分
7.置信区间
答案: 上限 = 30.77
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.797
误差范围
E = 2.797·13/√25 = 7.272
区间
23.5 ± 7.272 → [16.23, 30.77]
答案
上限 = 30.77
8.置信区间
答案: n = 1534
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·38/2.5)² = 1533
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1534
答案
n = 1534
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
检验统计量
t = (97.2 − 100)/2 = −1.4
答案
t = −1.4
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 228
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 1.645)·19/5)² = 227.7
向上取整
n = 228
答案
n = 228
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9804
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 129/5 = 25.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Syy = Σ(y − ȳ)² = 652.8
决定系数
r² = 160²/(40·652.8) = 0.9804
答案
r² = 0.9804
y 的变异中约有 98.04% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 20.75
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 113/6 = 18.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33.5
回归直线
b = −33.5/17.5 = −1.914
a = 18.83 − (−1.914)·3.5 = 25.53
ŷ = 25.53 − 1.914·x
预测
ŷ = 25.53 + (−1.914)·2.5 = 20.75
答案
ŷ = 20.75
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