描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：47, 57, 17, 59, 26, 55, 45。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。数值高于 90.4 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 12x = 90.4
P =
3.概率中等
袋中有 3 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
3 / 6
P =
4.概率困难
一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.6k = 4
P =
5.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 440 和 580 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 580
P =
6.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 10% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分10%
x = 分
7.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 8.1。 用同样的数据计算 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
95%n₁ = 36E₁ = 8.190%
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 26。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 26E = 1.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 69 mm，该生产线的已知标准差为 15 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 64.6 mm，已知标准差为 7 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 100x̄₁ = 69 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 60x̄₂ = 64.6 mmσ₂ = 7 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 12。求最小样本量 n。
σ = 12E = 390%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 124Σx² = 220Σy² = 3738Σxy = 906
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 17 时的 ŷ。
n = 6x = 17
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.21
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 306/7 = 43.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = 3.286² + 13.29² + (−26.71)² + 15.29² + (−17.71)² + 11.29² + 1.286² = 1577
标准差
s = √(1577/6) = 16.21
答案
s = 16.21
2.描述统计
答案: P = 0.7881
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
答案
P = 0.7881
3.概率
答案: P = 0.08333
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0.08333
答案
P = 0.08333
4.概率
答案: P = 0.1672
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 4) = 126·0.64·0.45 = 126·0.1296·0.01024 = 0.1672
答案
P = 0.1672
5.正态分布
答案: P = 0.9104
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (440 − 500)/40 = −1.5
z₂ = (580 − 500)/40 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(−1.5) = 0.9772 − 0.06681 = 0.9104
答案
P = 0.9104
6.正态分布
答案: x = 119.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.9
由表得到的 z
z ≈ 1.28
回到原来的单位
x = 100 + 1.28·15 = 119.2 分
答案
x = 119.2 分
7.置信区间
答案: E₂ = 6.798
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(36/36) = 0.8393
新的误差范围
E₂ = 8.1·0.8393 = 6.798
答案
E₂ = 6.798
8.置信区间
答案: n = 1155
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·26/1.5)² = 1154
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1155
答案
n = 1155
9.假设检验与置信区间
答案: z = 2.513
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(15²/100 + 7²/60) = √3.067 = 1.751
检验统计量
z = (69 − 64.6)/1.751 = 2.513
答案
z = 2.513
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 44
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·12/3)² = 43.3
向上取整
n = 44
答案
n = 44
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9949
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 906 − 30·124/5 = 162
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3738 − 124²/5 = 662.8
相关系数
r = 162/√(40·662.8) = 0.9949
答案
r = 0.9949
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 66.32
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 521/6 = 86.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 359
回归直线
b = 359/70 = 5.129
a = 86.83 − 5.129·21 = −20.87
ŷ = −20.87 + 5.129·x
预测
ŷ = −20.87 + 5.129·17 = 66.32
答案
ŷ = 66.32
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