描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：19, 50, 54, 58, 60, 26。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。求成绩 59 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 15x = 59
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.25, 0.3, 0.2
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.2, 0.2, 0.25Y = −2X + 5
σY =
5.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 468 和 520 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 468x2 = 520
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 7.1。 如果同一研究改用 25 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 100E₁ = 7.1n₂ = 25
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 15。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 15E = 2.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 20。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 53.55。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ > 50。求 p 值 p。
μ₀ = 50σ = 20n = 64x̄ = 53.55H₁: μ > μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
64 次测量的样本均值为 75.3。总体标准差为 5。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 75.3σ = 5n = 6495%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 132Σy = 640Σx² = 2974Σy² = 70350Σxy = 14456
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 5x = 3.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 17.52
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 267/6 = 44.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−25.5)² + 5.5² + 9.5² + 13.5² + 15.5² + (−18.5)² = 1536
标准差
s = √(1536/5) = 17.52
答案
s = 17.52
2.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (59 − 50)/15 = 0.6
答案
z = 0.6
3.概率
答案: σ = 1.071
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.3 + 4·0.2 = 2.45
平方的均值
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.3 + 16·0.2 = 7.15
方差
Var(X) = 7.15 − 2.45² = 1.147
σ = √1.147 = 1.071
答案
σ = 1.071
4.概率
答案: σY = 23.9
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 23.5, Var(X) = 142.8, σX = 11.95
线性变换
σY = |−2|·11.95 = 23.9
答案
σY = 23.9
均值确实会改变：E(Y) = −2·23.5 + 5 = −42。
5.正态分布
答案: P = 0.4796
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (468 − 500)/40 = −0.8
z₂ = (520 − 500)/40 = 0.5
中间面积
P = Φ(0.5) − Φ(−0.8) = 0.6915 − 0.2119 = 0.4796
答案
P = 0.4796
6.正态分布
答案: P = 0.9633
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79
概率
P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633
答案
P = 0.9633
7.置信区间
答案: E₂ = 14.2
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(100/25) = 2
新的误差范围
E₂ = 7.1·2 = 14.2
答案
E₂ = 14.2
8.置信区间
答案: n = 139
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·15/2.5)² = 138.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 139
答案
n = 139
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.0778
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 20/√64 = 2.5
z = (53.55 − 50)/2.5 = 1.42
尾部面积
Φ(1.42) = 0.9222
1 − Φ(1.42) = 0.0778
p 值
p = 0.0778
答案
p = 0.0778
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 76.52
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·5/√64 = 1.225
区间端点
U = 75.3 + 1.225 = 76.52
答案
U = 76.52
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9846
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 14456 − 132·640/6 = 376
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 70350 − 640²/6 = 2083
相关系数
r = 376/√(70·2083) = 0.9846
答案
r = 0.9846
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 16.8
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 90/5 = 18
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
回归直线
b = −24/10 = −2.4
a = 18 − (−2.4)·3 = 25.2
ŷ = 25.2 − 2.4·x
预测
ŷ = 25.2 + (−2.4)·3.5 = 16.8
答案
ŷ = 16.8
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