描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：46, 26, 31, 28, 35。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。求成绩 160 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 20x = 160
z =
3.概率中等
从 15 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 15k = 4
N =
4.概率困难
测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.3
P =
5.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 26 和 39.2 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 26x2 = 39.2
P =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
7.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 2.3。 基于 25 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 100E₁ = 2.395%n₂ = 25
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 29。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 29E = 2.590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：8 名学生，平均分 96.5，标准差 3。第 2 组：6 名学生，平均分 93.9，标准差 8.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 8x̄₁ = 96.5s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 93.9s₂ = 8.5
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 80.65。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 80.65σ = 5n = 100α = 0.05
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3, 13)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(3, 13)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 7.918
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 166/5 = 33.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = 12.8² + (−7.2)² + (−2.2)² + (−5.2)² + 1.8² = 250.8
标准差
s = √(250.8/4) = 7.918
答案
s = 7.918
2.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (160 − 170)/20 = −0.5
答案
z = −0.5
3.概率
答案: N = 1365
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365
答案
N = 1365
4.概率
答案: P = 0.5282
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.75 = 0.1681
P(X = 1) = 5·0.3·0.74 = 0.3601
相加
P = 0.1681 + 0.3601 = 0.5282
答案
P = 0.5282
5.正态分布
答案: P = 0.7263
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (26 − 32)/6 = −1
z₂ = (39.2 − 32)/6 = 1.2
中间面积
P = Φ(1.2) − Φ(−1) = 0.8849 − 0.1587 = 0.7263
答案
P = 0.7263
6.正态分布
答案: x = 527 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 500 + 0.6745·40 = 526.98 h
答案
x = 526.98 h
7.置信区间
答案: E₂ = 3.5
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(100/25) = 1.522
新的误差范围
E₂ = 2.3·1.522 = 3.5
答案
E₂ = 3.5
8.置信区间
答案: n = 365
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·29/2.5)² = 364.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 365
答案
n = 365
9.假设检验与置信区间
答案: t = 0.8097
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (7·3² + 5·8.5²)/12 = 35.35
sp = 5.946
标准误
SE = 5.946·√(1/8 + 1/6) = 3.211
检验统计量
t = (96.5 − 93.9)/3.211 = 0.8097
答案
t = 0.8097
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 63.5 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 80 + 1.645·0.5 = 80.82
真实均值下的 z
z = (80.82 − 80.65)/0.5 = 0.345
第二类错误
功效 = P(Z > 0.345) = 36.5%
β = 100% − 36.5% = 63.5%
答案
β = 63.5%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9118
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 178/6 = 29.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44
Syy = Σ(y − ȳ)² = 121.3
决定系数
r² = 44²/(17.5·121.3) = 0.9118
答案
r² = 0.9118
y 的变异中约有 91.18% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = 2.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 91/5 = 18.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98
回归直线
b = 98/40 = 2.45
a = 18.2 − 2.45·6 = 3.5
ŷ = 3.5 + 2.45·x
预测值
ŷ = 3.5 + 2.45·3 = 10.85
残差
e = 13 − 10.85 = 2.15
答案
e = 2.15
该点位于直线上方。
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