描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 10, 30, 22, 36。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。求成绩 82 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 12x = 82
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.05, 0.25, 0.35, 0.35
Var(X) =
4.概率困难
测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.6
P =
5.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 100 和 115.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 100x2 = 115.75
P =
6.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 10% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g10%
x = g
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 56 h，已知标准差 18 h。型号 2：30 部手机，均值 48.5 h，已知标准差 16 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。
n₁ = 50x̄₁ = 56 hσ₁ = 18 hn₂ = 30x̄₂ = 48.5 hσ₂ = 16 h99%
下限 = h
8.置信区间困难
总体标准差为 33。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 33E = 0.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 50.5 mm，该生产线的已知标准差为 13 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 46.2 mm，已知标准差为 18 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 100x̄₁ = 50.5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 50x̄₂ = 46.2 mmσ₂ = 18 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 10。实际上均值为 203.6。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 203.6σ = 10n = 25α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 22？
n = 6ŷ = 22
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.22
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 110/5 = 22
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−12)² + 8² + 0² + 14² = 504
标准差
s = √(504/4) = 11.22
答案
s = 11.22
2.描述统计
答案: z = −1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (82 − 100)/12 = −1.5
答案
z = −1.5
3.概率
答案: Var(X) = 80
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.05 + 20·0.25 + 30·0.35 + 40·0.35 = 30
平方的均值
E(X²) = 100·0.05 + 400·0.25 + 900·0.35 + 1600·0.35 = 980
方差
Var(X) = 980 − 30² = 80
答案
Var(X) = 80
4.概率
答案: P = 0.003801
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.49 = 0.0002621
P(X = 1) = 9·0.6·0.48 = 0.003539
相加
P = 0.0002621 + 0.003539 = 0.003801
答案
P = 0.003801
5.正态分布
答案: P = 0.3531
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (100 − 100)/15 = 0
z₂ = (115.75 − 100)/15 = 1.05
中间面积
P = Φ(1.05) − Φ(0) = 0.8531 − 0.5 = 0.3531
答案
P = 0.3531
6.正态分布
答案: x = 256.4 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.9
由表得到的 z
z ≈ 1.28
回到原来的单位
x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g
答案
x = 256.4 g
7.置信区间
答案: 下限 = −2.481 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 56 − 48.5 = 7.5
标准误
SE = √(18²/50 + 16²/30) = 3.875
误差范围
E = 2.576·3.875 = 9.981
区间
7.5 ± 9.981 → [−2.481, 17.48]
答案
下限 = −2.481 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
8.置信区间
答案: n = 16735
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·33/0.5)² = 16734
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 16735
答案
n = 16735
9.假设检验与置信区间
答案: z = 1.504
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(13²/100 + 18²/50) = √8.17 = 2.858
检验统计量
z = (50.5 − 46.2)/2.858 = 1.504
答案
z = 1.504
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 56.16 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 200 + 1.645·2 = 203.3
真实均值下的 z
z = (203.3 − 203.6)/2 = −0.155
功率
功效 = P(Z > −0.155) = 56.16%
1 − β = 56.16%
答案
1 − β = 56.16%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9917
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 447/6 = 74.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 415
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2502
相关系数
r = 415/√(70·2502) = 0.9917
答案
r = 0.9917
12.线性回归与相关
答案: x = 2.69
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 122/6 = 20.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36
回归直线
b = −36/17.5 = −2.057
a = 20.33 − (−2.057)·3.5 = 27.53
ŷ = 27.53 − 2.057·x
解出 x
x = (22 − 27.53)/(−2.057) = 2.69
答案
x = 2.69
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1