描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：45, 59, 10, 44, 57, 23, 15。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。求成绩 173.2 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 8x = 173.2
z =
3.概率中等
袋中有 5 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
5 / 7
P =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.3 赢得 €4，以概率 0.05 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€4: p = 0.3€20: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 250 和 254 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 254
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 30% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
7.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 22.5，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 25x̄ = 22.5s = 190%t(24) = 1.711
下限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：8 块地，平均产量 39 kg，标准差 1.5 kg。地块组 2：23 块地，均值 29.5 kg，标准差 6 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 8x̄₁ = 39s₁ = 1.5n₂ = 23x̄₂ = 29.5s₂ = 695%t(29) = 2.045
上限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 52.67，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 52.67s = 10n = 81
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 16 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 16 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 16n₁ = 80x₂ = 16n₂ = 120
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (7, 21)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(7, 21)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 20
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 253/7 = 36.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = 8.857² + 22.86² + (−26.14)² + 7.857² + 20.86² + (−13.14)² + (−21.14)² = 2401
标准差
s = √(2401/6) = 20
答案
s = 20
2.描述统计
答案: z = 0.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (173.2 − 170)/8 = 0.4
答案
z = 0.4
3.概率
答案: P = 0.1515
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0.1515
答案
P = 0.1515
4.概率
答案: E(G) = 0.2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 2 (p = 0.3), 18 (p = 0.05), −2 (p = 0.65)
期望值
E(G) = 2·0.3 + 18·0.05 − 2·0.65 = 0.2 €
答案
E(G) = 0.2 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.2881
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (254 − 250)/5 = 0.8
中间面积
P = Φ(0.8) − Φ(0) = 0.7881 − 0.5 = 0.2881
答案
P = 0.2881
6.正态分布
答案: x = 174.4 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.3
由表得到的 z
z ≈ −0.52
回到原来的单位
x = 178 − 0.52·7 = 174.4 cm
答案
x = 174.4 cm
7.置信区间
答案: 下限 = 22.16
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 1.711
误差范围
E = 1.711·1/√25 = 0.3422
区间
22.5 ± 0.3422 → [22.16, 22.84]
答案
下限 = 22.16
8.置信区间
答案: 上限 = 13.93 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (7·1.5² + 22·6²)/29 = 27.85
sp = 5.278
误差范围
E = 2.045·5.278·√(1/8 + 1/23) = 4.43
区间
9.5 ± 4.43 → [5.07, 13.93]
答案
上限 = 13.93 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.403
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111
检验统计量
t = (52.67 − 50)/1.111 = 2.403
答案
t = 2.403
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 1.26
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 16/80 = 0.2
p̂₂ = 16/120 = 0.1333
p̂ = 32/200 = 0.16
H₀ 下的标准误
SE = √(0.16·0.84·(1/80 + 1/120)) = 0.05292
检验统计量
z = (0.2 − 0.1333)/0.05292 = 1.26
答案
z = 1.26
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.995
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 481/6 = 80.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 383
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2117
相关系数
r = 383/√(70·2117) = 0.995
答案
r = 0.995
12.线性回归与相关
答案: e = −2.167
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 139/6 = 23.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 223
回归直线
b = 223/70 = 3.186
a = 23.17 − 3.186·7 = 0.8667
ŷ = 0.8667 + 3.186·x
预测值
ŷ = 0.8667 + 3.186·7 = 23.17
残差
e = 21 − 23.17 = −2.167
答案
e = −2.167
该点位于直线下方。
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