描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：25, 34, 33, 19, 15, 54。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值高于 147.5 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 15x = 147.5
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.3, 0.1, 0.05
Var(X) =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.3 赢得 €2，以概率 0.01 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€2: p = 0.3€10: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6827。求 z，保留两位小数。
A = 0.6827
z =
6.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm95%
x = cm
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 146.5 h，已知标准差 16 h。型号 2：30 部手机，均值 155.5 h，已知标准差 18 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 40x̄₁ = 146.5 hσ₁ = 16 hn₂ = 30x̄₂ = 155.5 hσ₂ = 18 h90%
上限 = h
8.置信区间困难
总体标准差为 37。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 37E = 0.590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 38，标准差 10。第 2 组：14 名学生，平均分 43，标准差 2.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 7x̄₁ = 38s₁ = 10n₂ = 14x̄₂ = 43s₂ = 2.5
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 25。实际上均值为 44.25。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 50μ = 44.25σ = 25n = 100α = 0.05
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 69？
n = 5ŷ = 69
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.94
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 180/6 = 30
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−5)² + 4² + 3² + (−11)² + (−15)² + 24² = 972
标准差
s = √(972/5) = 13.94
答案
s = 13.94
2.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
答案
P = 0.9332
3.概率
答案: Var(X) = 1.24
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.1 + 4·0.05 = 1.4
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.1 + 16·0.05 = 3.2
方差
Var(X) = 3.2 − 1.4² = 1.24
答案
Var(X) = 1.24
4.概率
答案: E(G) = −0.3 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 1 (p = 0.3), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.69)
期望值
E(G) = 1·0.3 + 9·0.01 − 1·0.69 = −0.3 €
答案
E(G) = −0.3 €
负值表示平均而言你会亏钱。
5.正态分布
答案: z = 1
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.6827)/2 = 0.8413
反向查 z 表
在表中找到 0.8413，读出 z。
z = 1.00
答案
z = 1.00
6.正态分布
答案: x = 189.5 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 178 + 1.64·7 = 189.5 cm
答案
x = 189.5 cm
7.置信区间
答案: 上限 = −2.178 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 146.5 − 155.5 = −9
标准误
SE = √(16²/40 + 18²/30) = 4.147
误差范围
E = 1.645·4.147 = 6.822
区间
−9 ± 6.822 → [−15.82, −2.178]
答案
上限 = −2.178 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: n = 14819
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·37/0.5)² = 14818
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 14819
答案
n = 14819
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.804
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (6·10² + 13·2.5²)/19 = 35.86
sp = 5.988
标准误
SE = 5.988·√(1/7 + 1/14) = 2.772
检验统计量
t = (38 − 43)/2.772 = −1.804
答案
t = −1.804
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 25.62 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 50 − 1.645·2.5 = 45.89
真实均值下的 z
z = (45.89 − 44.25)/2.5 = 0.655
第二类错误
功效 = P(Z < 0.655) = 74.38%
β = 100% − 74.38% = 25.62%
答案
β = 25.62%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9913
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 480/6 = 80
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127
Syy = Σ(y − ȳ)² = 938
相关系数
r = 127/√(17.5·938) = 0.9913
答案
r = 0.9913
12.线性回归与相关
答案: x = 7.881
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 332/5 = 66.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
回归直线
b = 118/40 = 2.95
a = 66.4 − 2.95·7 = 45.75
ŷ = 45.75 + 2.95·x
解出 x
x = (69 − 45.75)/2.95 = 7.881
答案
x = 7.881
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