统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：39, 16, 32, 13, 50, 27, 53。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。数值低于 30 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 20x = 30

P =

3.概率中等

从 7 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 7k = 2

N =

4.概率困难

测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.7

P =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9854。求 z，保留两位小数。

A = 0.9854

z =

6.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 60.5 h，已知标准差 4 h。型号 2：30 部手机，均值 53.5 h，已知标准差 17 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 40x̄₁ = 60.5 hσ₁ = 4 hn₂ = 30x̄₂ = 53.5 hσ₂ = 17 h90%

下限 = h

8.置信区间困难

30 根机加工轴的直径样本标准差为 7.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 29 时，χ² 分布有 2.5% 位于 16.047 以下，2.5% 位于 45.722 以上。

n = 30s = 7.5 µmχ² = 16.047, 45.722

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 203.4，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 203.4s = 8n = 25

t =

10.假设检验与置信区间困难

81 次测量的样本均值为 74.1。总体标准差为 4。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 74.1σ = 4n = 8199%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 21Σy = 98Σx² = 91Σy² = 1758Σxy = 291

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 34？

n = 6ŷ = 34

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 15.55

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 230/7 = 32.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = 6.143² + (−16.86)² + (−0.8571)² + (−19.86)² + 17.14² + (−5.857)² + 20.14² = 1451

标准差

s = √(1451/6) = 15.55

答案

s = 15.55

2.描述统计

答案: P = 0.06681

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 0.06681

答案

P = 0.06681

3.概率

答案: N = 21

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21

答案

N = 21

4.概率

答案: P = 0.01094

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.3⁶ = 0.000729

P(X = 1) = 6·0.7·0.3⁵ = 0.01021

相加

P = 0.000729 + 0.01021 = 0.01094

答案

P = 0.01094

5.正态分布

答案: z = −2.18

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9854 = 0.0146

反向查 z 表

在表中找到 0.0146，读出 z。

z = −2.18

答案

z = −2.18

6.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

7.置信区间

答案: 下限 = 1.789 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 60.5 − 53.5 = 7

标准误

SE = √(4²/40 + 17²/30) = 3.168

误差范围

E = 1.645·3.168 = 5.211

区间

7 ± 5.211 → [1.789, 12.21]

答案

下限 = 1.789 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

8.置信区间

答案: σ = 10.08 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 29·7.5² = 1631

σ² 的限值

1631/45.722 = 35.68

1631/16.047 = 101.7

σ 的限值

σ = √101.7 = 10.08 µm

答案

σ = 10.08 µm

σ 的 95% 区间：[5.973, 10.08] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2.125

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

检验统计量

t = (203.4 − 200)/1.6 = 2.125

答案

t = 2.125

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 75.24

误差范围

E = 2.576·4/√81 = 1.145

区间端点

U = 74.1 + 1.145 = 75.24

答案

U = 75.24

11.线性回归与相关

答案: r = −0.991

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 291 − 21·98/6 = −52

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 1758 − 98²/6 = 157.3

答案

r = −0.991

12.线性回归与相关

答案: x = 2.538

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 219/6 = 36.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45.5

回归直线

b = 45.5/17.5 = 2.6

a = 36.5 − 2.6·3.5 = 27.4

ŷ = 27.4 + 2.6·x

解出 x

x = (34 − 27.4)/2.6 = 2.538

答案

x = 2.538

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