统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：59, 52, 53, 18, 30, 22, 33。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。数值低于 90 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 20x = 90

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.2, 0.1, 0.15, 0.3

σ =

4.概率困难

测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.6

P =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0170。求 z，保留两位小数。

A = 0.0170

z =

6.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.置信区间中等

测量 15 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 3.5，标准差为 7.8。求平均差值的 99% 置信区间的下限。

n = 15d̄ = 3.5s_d = 7.899%t(14) = 2.977

下限 = mmHg

8.置信区间困难

21 根机加工轴的直径样本标准差为 7.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。

n = 21s = 7.7 µmχ² = 9.591, 34.17

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 74.2，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 74.2s = 8n = 81

t =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 15。求最小样本量 n。

σ = 15E = 399%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 35Σy = 383Σx² = 285Σy² = 31003Σxy = 2939

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 63？

n = 5ŷ = 63

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 16.36

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 267/7 = 38.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = 20.86² + 13.86² + 14.86² + (−20.14)² + (−8.143)² + (−16.14)² + (−5.143)² = 1607

标准差

s = √(1607/6) = 16.36

答案

s = 16.36

2.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

答案

P = 0.9332

3.概率

答案: σ = 1.596

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.1 + 4·0.15 + 5·0.3 = 3.05

平方的均值

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.1 + 16·0.15 + 25·0.3 = 11.85

方差

Var(X) = 11.85 − 3.05² = 2.548

σ = √2.548 = 1.596

答案

σ = 1.596

4.概率

答案: P = 0.000734

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.4¹¹ = 4.194 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 11·0.6·0.4¹⁰ = 0.0006921

相加

P = 4.194 × 10⁻⁵ + 0.0006921 = 0.000734

答案

P = 0.000734

5.正态分布

答案: z = 2.12

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0170 = 0.9830

反向查 z 表

在表中找到 0.9830，读出 z。

z = 2.12

答案

z = 2.12

6.正态分布

答案: x = 187 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

答案

x = 186.97 cm

7.置信区间

答案: 下限 = −2.496 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 14, t = 2.977

误差范围

E = 2.977·7.8/√15 = 5.996

区间

3.5 ± 5.996 → [−2.496, 9.496]

答案

下限 = −2.496 mmHg

8.置信区间

答案: σ = 5.891 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 20·7.7² = 1186

σ² 的限值

1186/34.17 = 34.7

1186/9.591 = 123.6

σ 的限值

σ = √34.7 = 5.891 µm

答案

σ = 5.891 µm

σ 的 95% 区间：[5.891, 11.12] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: t = −0.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

检验统计量

t = (74.2 − 75)/0.8889 = −0.9

答案

t = −0.9

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 166

解出 n

n = (2.576·15/3)² = 165.9

向上取整

n = 166

答案

n = 166

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9997

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 2939 − 35·383/5 = 258

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 31003 − 383²/5 = 1665

答案

r = 0.9997

12.线性回归与相关

答案: x = 3.554

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 297/5 = 59.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65

回归直线

b = 65/10 = 6.5

a = 59.4 − 6.5·3 = 39.9

ŷ = 39.9 + 6.5·x

解出 x

x = (63 − 39.9)/6.5 = 3.554

答案

x = 3.554

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