统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：45, 45, 42, 45, 16, 58。

n = 6

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值低于 74.8 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 8x = 74.8

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.35, 0.2, 0.15

σ =

4.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.15 赢得 €12，以概率 0.05 赢得 €60；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€12: p = 0.15€60: p = 0.05

E(G) = €

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0274。求 z，保留两位小数。

A = 0.0274

z =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 97.5%

x = h

7.置信区间中等

一个包含 20 个个体的样本，均值为 88，标准差 s = 10.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 20x̄ = 88s = 10.599%t(19) = 2.861

下限 =

8.置信区间困难

总体标准差为 16。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 16E = 2.595%

n =

9.假设检验与置信区间中等

20 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −1.1，差值的标准差为 1.4。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 20d̄ = −1.1s_d = 1.4

t =

10.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 204.1。总体标准差为 12。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 204.1σ = 12n = 4999%

L =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 22？

n = 6ŷ = 22

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 13.85

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 251/6 = 41.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = 3.167² + 3.167² + 0.1667² + 3.167² + (−25.83)² + 16.17² = 958.8

标准差

s = √(958.8/5) = 13.85

答案

s = 13.85

2.描述统计

答案: P = 0.7257

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答案

P = 0.7257

3.概率

答案: σ = 2.059

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 2·0.35 + 4·0.2 + 6·0.15 = 2.4

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 4·0.35 + 16·0.2 + 36·0.15 = 10

方差

Var(X) = 10 − 2.4² = 4.24

σ = √4.24 = 2.059

答案

σ = 2.059

4.概率

答案: E(G) = 1.8 €

净结果

G: 9 (p = 0.15), 57 (p = 0.05), −3 (p = 0.8)

期望值

E(G) = 9·0.15 + 57·0.05 − 3·0.8 = 1.8 €

答案

E(G) = 1.8 €

正值表示平均而言你会赢钱。

5.正态分布

答案: z = 1.92

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0274 = 0.9726

反向查 z 表

在表中找到 0.9726，读出 z。

z = 1.92

答案

z = 1.92

6.正态分布

答案: x = 578.4 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 500 + 1.96·40 = 578.4 h

答案

x = 578.4 h

7.置信区间

答案: 下限 = 81.28

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 19, t = 2.861

误差范围

E = 2.861·10.5/√20 = 6.717

区间

88 ± 6.717 → [81.28, 94.72]

答案

下限 = 81.28

8.置信区间

答案: n = 158

解出 n

n = (1.96·16/2.5)² = 157.4

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 158

答案

n = 158

9.假设检验与置信区间

答案: t = −3.514

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 1.4/√20 = 0.313

检验统计量

t = −1.1/0.313 = −3.514

答案

t = −3.514

df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

10.假设检验与置信区间

答案: L = 199.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·12/√49 = 4.416

区间端点

L = 204.1 − 4.416 = 199.7

答案

L = 199.7

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9925

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 101/5 = 20.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 304.8

决定系数

r² = 110²/(40·304.8) = 0.9925

答案

r² = 0.9925

y 的变异中约有 99.25% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: x = 15.02

均值

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 215/6 = 35.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 243

回归直线

b = 243/70 = 3.471

a = 35.83 − 3.471·19 = −30.12

ŷ = −30.12 + 3.471·x

解出 x

x = (22 − (−30.12))/3.471 = 15.02

答案

x = 15.02

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