描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：33, 40, 38, 34, 19。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值高于 460 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 40x = 460
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.15, 0.3, 0.35
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.1 赢得 €15，以概率 0.05 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€15: p = 0.1€100: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 201 mm 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 201 mm
P =
6.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 95%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 44，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 6x̄ = 44s = 4.590%t(5) = 2.015
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 36E = 295%
n =
9.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 47.75，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 47.75s = 10n = 16
t =
10.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 122.6。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 122.6σ = 15n = 1690%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 18 时的 ŷ。
n = 6x = 18
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 8.228
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 164/5 = 32.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = 0.2² + 7.2² + 5.2² + 1.2² + (−13.8)² = 270.8
标准差
s = √(270.8/4) = 8.228
答案
s = 8.228
2.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
3.概率
答案: σ = 1.122
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.2 + 1·0.15 + 2·0.3 + 3·0.35 = 1.8
平方的均值
E(X²) = 0·0.2 + 1·0.15 + 4·0.3 + 9·0.35 = 4.5
方差
Var(X) = 4.5 − 1.8² = 1.26
σ = √1.26 = 1.122
答案
σ = 1.122
4.概率
答案: E(G) = 1.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 10 (p = 0.1), 95 (p = 0.05), −5 (p = 0.85)
期望值
E(G) = 10·0.1 + 95·0.05 − 5·0.85 = 1.5 €
答案
E(G) = 1.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.02275
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
标准化
z = (201 − 200)/0.5 = 2
上尾
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275
答案
P = 0.02275
6.正态分布
答案: x = 124.7 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 100 + 1.645·15 = 124.67 分
答案
x = 124.67 分
7.置信区间
答案: 下限 = 40.3
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 2.015
误差范围
E = 2.015·4.5/√6 = 3.702
区间
44 ± 3.702 → [40.3, 47.7]
答案
下限 = 40.3
8.置信区间
答案: n = 1245
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·36/2)² = 1245
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1245
答案
n = 1245
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
检验统计量
t = (47.75 − 50)/2.5 = −0.9
答案
t = −0.9
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 116.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·15/√16 = 6.169
区间端点
L = 122.6 − 6.169 = 116.4
答案
L = 116.4
11.线性回归与相关
答案: r = 0.999
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 614/5 = 122.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 630
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4419
相关系数
r = 630/√(90·4419) = 0.999
答案
r = 0.999
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 58.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 436/6 = 72.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254
回归直线
b = 254/70 = 3.629
a = 72.67 − 3.629·22 = −7.162
ŷ = −7.162 + 3.629·x
预测
ŷ = −7.162 + 3.629·18 = 58.15
答案
ŷ = 58.15
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