统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：59, 20, 26, 43, 27, 14。

n = 6

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。求成绩 80 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 10x = 80

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.3, 0.3, 0.25

Var(X) =

4.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.1，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.1k = 2

P =

5.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 12 个的总质量超过 475.8 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12> 475.8 g

P =

6.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 136.5 h，已知标准差 4 h。型号 2：100 部手机，均值 122.5 h，已知标准差 16 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 50x̄₁ = 136.5 hσ₁ = 4 hn₂ = 100x̄₂ = 122.5 hσ₂ = 16 h99%

上限 = h

8.置信区间困难

总体标准差为 17。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 17E = 1.595%

n =

9.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 197.8，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 197.8s = 8n = 25

t =

10.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 15。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 80%δ = 3σ = 15z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 12？

n = 5ŷ = 12

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 16.6

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 189/6 = 31.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = 27.5² + (−11.5)² + (−5.5)² + 11.5² + (−4.5)² + (−17.5)² = 1378

标准差

s = √(1378/5) = 16.6

答案

s = 16.6

2.描述统计

答案: z = −2

标准化

z = (80 − 100)/10 = −2

答案

z = −2

3.概率

答案: Var(X) = 4.11

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.15 + 2·0.3 + 4·0.3 + 6·0.25 = 3.3

平方的均值

E(X²) = 0·0.15 + 4·0.3 + 16·0.3 + 36·0.25 = 15

方差

Var(X) = 15 − 3.3² = 4.11

答案

Var(X) = 4.11

4.概率

答案: P = 0.0729

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 2) = 10·0.1²·0.9³ = 10·0.01·0.729 = 0.0729

答案

P = 0.0729

5.正态分布

答案: P = 0.8438

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 480 g, σ_T = 1.2·√12 = 4.157 g

标准化

z = (475.8 − 480)/4.157 = −1.01

概率

P = 1 − Φ(−1.01) = 0.8438

答案

P = 0.8438

6.正态分布

答案: P = 0.9706

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89

概率

P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706

答案

P = 0.9706

7.置信区间

答案: 上限 = 18.37 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 136.5 − 122.5 = 14

标准误

SE = √(4²/50 + 16²/100) = 1.697

误差范围

E = 2.576·1.697 = 4.372

区间

14 ± 4.372 → [9.628, 18.37]

答案

上限 = 18.37 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

8.置信区间

答案: n = 494

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·17/1.5)² = 493.4

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 494

答案

n = 494

9.假设检验与置信区间

答案: t = −1.375

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

检验统计量

t = (197.8 − 200)/1.6 = −1.375

答案

t = −1.375

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 251

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 0.842)·15/3)² = 250.9

向上取整

n = 251

答案

n = 251

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.8333

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 337/6 = 56.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 340.8

决定系数

r² = 70.5²/(17.5·340.8) = 0.8333

答案

r² = 0.8333

y 的变异中约有 83.33% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: x = 4.769

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 72/5 = 14.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

回归直线

b = 78/40 = 1.95

a = 14.4 − 1.95·6 = 2.7

ŷ = 2.7 + 1.95·x

解出 x

x = (12 − 2.7)/1.95 = 4.769

答案

x = 4.769

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