描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：39, 38, 17, 25, 51。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值高于 35 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 10x = 35
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.25, 0.25
σ =
4.概率困难
一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.2k = 2
P =
5.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量低于 478.7 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 478.7 kg
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 143.5 h，已知标准差 16 h。型号 2：60 部手机，均值 145 h，已知标准差 8 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 30x̄₁ = 143.5 hσ₁ = 16 hn₂ = 60x̄₂ = 145 hσ₂ = 8 h90%
E = h
8.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 23E = 199%
n =
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 8。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 121.88。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ > 120。求 p 值 p。
μ₀ = 120σ = 8n = 64x̄ = 121.88H₁: μ > μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 15。求最小样本量 n。
σ = 15E = 299%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。
n = 6x = 9
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.23
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 170/5 = 34
离差平方
Σ(x − x̄)² = 5² + 4² + (−17)² + (−9)² + 17² = 700
标准差
s = √(700/4) = 13.23
答案
s = 13.23
2.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
答案
P = 0.9332
3.概率
答案: σ = 1.2
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.35 + 2·0.15 + 3·0.25 + 4·0.25 = 2.4
平方的均值
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.15 + 9·0.25 + 16·0.25 = 7.2
方差
Var(X) = 7.2 − 2.4² = 1.44
σ = √1.44 = 1.2
答案
σ = 1.2
4.概率
答案: P = 0.2458
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 15·0.22·0.84 = 15·0.04·0.4096 = 0.2458
答案
P = 0.2458
5.正态分布
答案: P = 0.9772
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26.83 kg
标准化
z = (478.7 − 425)/26.83 = 2
概率
P = Φ(2) = 0.9772
答案
P = 0.9772
6.正态分布
答案: P = 0.8849
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2
概率
P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849
答案
P = 0.8849
7.置信区间
答案: E = 5.097 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 143.5 − 145 = −1.5
标准误
SE = √(16²/30 + 8²/60) = 3.098
误差范围
E = 1.645·3.098 = 5.097
答案
E = 5.097 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
8.置信区间
答案: n = 3511
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·23/1)² = 3510
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 3511
答案
n = 3511
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.03005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 8/√64 = 1
z = (121.88 − 120)/1 = 1.88
尾部面积
Φ(1.88) = 0.9699
1 − Φ(1.88) = 0.0301
p 值
p = 0.03005
答案
p = 0.03005
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 374
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·15/2)² = 373.3
向上取整
n = 374
答案
n = 374
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9611
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 98/6 = 16.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Syy = Σ(y − ȳ)² = 291.3
决定系数
r² = 140²/(70·291.3) = 0.9611
答案
r² = 0.9611
y 的变异中约有 96.11% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 27
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 126/6 = 21
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210
回归直线
b = 210/70 = 3
a = 21 − 3·7 = 0
ŷ = 0 + 3·x
预测
ŷ = 0 + 3·9 = 27
答案
ŷ = 27
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