统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：47, 37, 60, 52, 37, 35。

n = 6

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。数值低于 53 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 5x = 53

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.05, 0.3

σ =

4.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.7k = 2

P =

5.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量低于 61.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 5< 61.8 kg

P =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 85% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

7.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 56，标准差 s = 3.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 30x̄ = 56s = 3.599%t(29) = 2.756

E =

8.置信区间困难

总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 21E = 2.595%

n =

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 134 mm，该生产线的已知标准差为 12 mm。生产线 2：30 个零件的样本均值为 130.1 mm，已知标准差为 17 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 50x̄₁ = 134 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 30x̄₂ = 130.1 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 109.5。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的上限 U。

x̄ = 109.5σ = 15n = 1690%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 100Σy = 345Σx² = 2040Σy² = 24889Σxy = 7096

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 69)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 69)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 10.05

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 268/6 = 44.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = 2.333² + (−7.667)² + 15.33² + 7.333² + (−7.667)² + (−9.667)² = 505.3

标准差

s = √(505.3/5) = 10.05

答案

s = 10.05

2.描述统计

答案: P = 0.7257

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答案

P = 0.7257

3.概率

答案: σ = 1.229

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.35 + 2·0.3 + 3·0.05 + 4·0.3 = 2.3

平方的均值

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.3 + 9·0.05 + 16·0.3 = 6.8

方差

Var(X) = 6.8 − 2.3² = 1.51

σ = √1.51 = 1.229

答案

σ = 1.229

4.概率

答案: P = 0.1323

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 2) = 10·0.7²·0.3³ = 10·0.49·0.027 = 0.1323

答案

P = 0.1323

5.正态分布

答案: P = 0.8438

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 60 kg, σ_T = 0.8·√5 = 1.789 kg

标准化

z = (61.8 − 60)/1.789 = 1.01

概率

P = Φ(1.01) = 0.8438

答案

P = 0.8438

6.正态分布

答案: x = 458 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.15

由表得到的 z

z ≈ −1.04

回到原来的单位

x = 500 − 1.04·40 = 458 h

答案

x = 458 h

7.置信区间

答案: E = 1.761

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 2.756

误差范围

E = 2.756·3.5/√30 = 1.761

答案

E = 1.761

8.置信区间

答案: n = 272

解出 n

n = (1.96·21/2.5)² = 271.1

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 272

答案

n = 272

9.假设检验与置信区间

答案: z = 1.102

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(12²/50 + 17²/30) = √12.51 = 3.537

检验统计量

z = (134 − 130.1)/3.537 = 1.102

答案

z = 1.102

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 115.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·15/√16 = 6.169

区间端点

U = 109.5 + 6.169 = 115.7

答案

U = 115.7

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9413

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 7096 − 100·345/5 = 196

S_xx = 2040 − 100²/5 = 40

S_yy = 24889 − 345²/5 = 1084

答案

r = 0.9413

12.线性回归与相关

答案: e = 4.9

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 274/5 = 54.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

回归直线

b = 62/10 = 6.2

a = 54.8 − 6.2·3 = 36.2

ŷ = 36.2 + 6.2·x

预测值

ŷ = 36.2 + 6.2·4.5 = 64.1

残差

e = 69 − 64.1 = 4.9

答案

e = 4.9

该点位于直线上方。

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