描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：31, 40, 25, 19, 15, 56。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。数值高于 82 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 12x = 82
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 5 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 5
P =
4.概率困难
一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.4k = 4
P =
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 53.5 和 75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 53.5x2 = 75
P =
6.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 90%
x = 分
7.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 2.3。 用同样的数据计算 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 100E₁ = 2.390%
E₂ =
8.置信区间困难
25 根机加工轴的直径样本标准差为 8.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。
n = 25s = 8.5 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 97，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 97s = 20n = 36
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ < 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 10。实际上均值为 77.2。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 77.2σ = 10n = 25α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3 时的 ŷ。
n = 5x = 3
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.11
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 186/6 = 31
离差平方
Σ(x − x̄)² = 0² + 9² + (−6)² + (−12)² + (−16)² + 25² = 1142
标准差
s = √(1142/5) = 15.11
答案
s = 15.11
2.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
答案
P = 0.1587
3.概率
答案: P = 0.5981
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981
答案
P = 0.5981
4.概率
答案: P = 0.2508
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 4) = 126·0.44·0.65 = 126·0.0256·0.07776 = 0.2508
答案
P = 0.2508
5.正态分布
答案: P = 0.7163
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (53.5 − 65)/10 = −1.15
z₂ = (75 − 65)/10 = 1
中间面积
P = Φ(1) − Φ(−1.15) = 0.8413 − 0.1251 = 0.7163
答案
P = 0.7163
6.正态分布
答案: x = 77.82 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 65 + 1.282·10 = 77.82 分
答案
x = 77.82 分
7.置信区间
答案: E₂ = 1.469
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(100/100) = 0.6386
新的误差范围
E₂ = 2.3·0.6386 = 1.469
答案
E₂ = 1.469
8.置信区间
答案: σ = 11.82 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 24·8.5² = 1734
σ² 的限值
1734/39.364 = 44.05
1734/12.401 = 139.8
σ 的限值
σ = √139.8 = 11.82 µm
答案
σ = 11.82 µm
σ 的 95% 区间：[6.637, 11.82] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√36 = 20/6 = 3.333
检验统计量
t = (97 − 100)/3.333 = −0.9
答案
t = −0.9
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 40.32 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 80 − 1.645·2 = 76.71
真实均值下的 z
z = (76.71 − 77.2)/2 = −0.245
功率
功效 = P(Z < −0.245) = 40.32%
1 − β = 40.32%
答案
1 − β = 40.32%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.6777
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 254/5 = 50.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Syy = Σ(y − ȳ)² = 298.8
决定系数
r² = 90²/(40·298.8) = 0.6777
答案
r² = 0.6777
y 的变异中约有 67.77% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 42.6
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 246/5 = 49.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88
回归直线
b = 88/40 = 2.2
a = 49.2 − 2.2·6 = 36
ŷ = 36 + 2.2·x
预测
ŷ = 36 + 2.2·3 = 42.6
答案
ŷ = 42.6
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