描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：44, 35, 39, 41, 33, 52, 39。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。数值低于 88 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 12x = 88
P =
3.概率中等
袋中有 6 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
6 / 5
P =
4.概率困难
一份测试有 8 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.3k = 3
P =
5.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 244.25 和 259.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 244.25x2 = 259.25
P =
6.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 70% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h70%
x = h
7.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 88.5，标准差 s = 6。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 20x̄ = 88.5s = 690%t(19) = 1.729
E =
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.1 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.02？
p ≈ 0.1E = 0.0290%
n =
9.假设检验与置信区间中等
13 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −8.11，差值的标准差为 7.5。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 13d̄ = −8.11sd = 7.5
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 53 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 23 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 53n₁ = 150x₂ = 23n₂ = 80
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 25Σy = 318Σx² = 135Σy² = 20340Σxy = 1618
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 71？
n = 6ŷ = 71
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 6.268
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 283/7 = 40.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = 3.571² + (−5.429)² + (−1.429)² + 0.5714² + (−7.429)² + 11.57² + (−1.429)² = 235.7
标准差
s = √(235.7/6) = 6.268
答案
s = 6.268
2.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答案
P = 0.1587
3.概率
答案: P = 0.2727
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0.2727
答案
P = 0.2727
4.概率
答案: P = 0.2541
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 56·0.33·0.75 = 56·0.027·0.1681 = 0.2541
答案
P = 0.2541
5.正态分布
答案: P = 0.8428
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (244.25 − 250)/5 = −1.15
z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1.15) = 0.9678 − 0.1251 = 0.8428
答案
P = 0.8428
6.正态分布
答案: x = 521 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 500 + 0.52·40 = 521 h
答案
x = 521 h
7.置信区间
答案: E = 2.32
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 1.729
误差范围
E = 1.729·6/√20 = 2.32
答案
E = 2.32
8.置信区间
答案: n = 609
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.1·0.9/0.02² = 608.9
向上取整
n = 609
答案
n = 609
9.假设检验与置信区间
答案: t = −3.899
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 7.5/√13 = 2.08
检验统计量
t = −8.11/2.08 = −3.899
答案
t = −3.899
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 1.011
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 53/150 = 0.3533
p̂₂ = 23/80 = 0.2875
p̂ = 76/230 = 0.3304
H₀ 下的标准误
SE = √(0.3304·0.6696·(1/150 + 1/80)) = 0.06512
检验统计量
z = (0.3533 − 0.2875)/0.06512 = 1.011
答案
z = 1.011
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.825
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1618 − 25·318/5 = 28
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 20340 − 318²/5 = 115.2
相关系数
r = 28/√(10·115.2) = 0.825
答案
r = 0.825
12.线性回归与相关
答案: x = 5.976
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 502/6 = 83.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 438
回归直线
b = 438/70 = 6.257
a = 83.67 − 6.257·8 = 33.61
ŷ = 33.61 + 6.257·x
解出 x
x = (71 − 33.61)/6.257 = 5.976
答案
x = 5.976
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