描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：33, 22, 16, 11, 45。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。数值低于 76 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 10x = 76
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.3, 0.3, 0.15
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.15, 0.2, 0.3Y = −2X − 3
σY =
5.正态分布中等
X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 111.4 s 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 111.4 s
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 3.1。 用同样的数据计算 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 25E₁ = 3.190%
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 22。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 22E = 1.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 141 mm，该生产线的已知标准差为 20 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 144.9 mm，已知标准差为 5 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 100x̄₁ = 141 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 100x̄₂ = 144.9 mmσ₂ = 5 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 195 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 193 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 195n₁ = 300x₂ = 193n₂ = 250
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 59？
n = 5ŷ = 59
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.69
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 127/5 = 25.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7.6² + (−3.4)² + (−9.4)² + (−14.4)² + 19.6² = 749.2
标准差
s = √(749.2/4) = 13.69
答案
s = 13.69
2.描述统计
答案: P = 0.7257
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
答案
P = 0.7257
3.概率
答案: σ = 10.14
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.25 + 20·0.3 + 30·0.3 + 40·0.15 = 23.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.25 + 400·0.3 + 900·0.3 + 1600·0.15 = 655
方差
Var(X) = 655 − 23.5² = 102.8
σ = √102.8 = 10.14
答案
σ = 10.14
4.概率
答案: σY = 24.88
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 24.5, Var(X) = 154.8, σX = 12.44
线性变换
σY = |−2|·12.44 = 24.88
答案
σY = 24.88
均值确实会改变：E(Y) = −2·24.5 − 3 = −52。
5.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
标准化
z = (111.4 − 105)/6.403 = 1
上尾
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587
答案
P = 0.1587
6.正态分布
答案: P = 0.9706
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89
概率
P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706
答案
P = 0.9706
7.置信区间
答案: E₂ = 1.98
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(25/25) = 0.6386
新的误差范围
E₂ = 3.1·0.6386 = 1.98
答案
E₂ = 1.98
8.置信区间
答案: n = 827
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·22/1.5)² = 826.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 827
答案
n = 827
9.假设检验与置信区间
答案: z = −1.892
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(20²/100 + 5²/100) = √4.25 = 2.062
检验统计量
z = (141 − 144.9)/2.062 = −1.892
答案
z = −1.892
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −3.125
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 195/300 = 0.65
p̂₂ = 193/250 = 0.772
p̂ = 388/550 = 0.7055
H₀ 下的标准误
SE = √(0.7055·0.2945·(1/300 + 1/250)) = 0.03904
检验统计量
z = (0.65 − 0.772)/0.03904 = −3.125
答案
z = −3.125
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9611
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 72/6 = 12
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Syy = Σ(y − ȳ)² = 200
决定系数
r² = 116²/(70·200) = 0.9611
答案
r² = 0.9611
y 的变异中约有 96.11% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 3.528
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 312/5 = 62.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72
回归直线
b = 72/10 = 7.2
a = 62.4 − 7.2·4 = 33.6
ŷ = 33.6 + 7.2·x
解出 x
x = (59 − 33.6)/7.2 = 3.528
答案
x = 3.528
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