描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：57, 27, 58, 18, 47, 36, 33。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。求成绩 80 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 10x = 80
z =
3.概率中等
袋中有 7 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
7 / 8
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.3, 0.25, 0.35Y = 2X + 5
σY =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6157。求 z，保留两位小数。
A = 0.6157
z =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 90% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分90%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 89，标准差 s = 3。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 6x̄ = 89s = 399%t(5) = 4.032
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 33。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 33E = 1.599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 24。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 255.6。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ > 250。求 p 值 p。
μ₀ = 250σ = 24n = 36x̄ = 255.6H₁: μ > μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 499.4。总体标准差为 5。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 499.4σ = 5n = 3699%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (1.5, 21)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(1.5, 21)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.15
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 276/7 = 39.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = 17.57² + (−12.43)² + 18.57² + (−21.43)² + 7.571² + (−3.429)² + (−6.429)² = 1378
标准差
s = √(1378/6) = 15.15
答案
s = 15.15
2.描述统计
答案: z = 2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (80 − 60)/10 = 2
答案
z = 2
3.概率
答案: P = 0.2
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0.2
答案
P = 0.2
4.概率
答案: σY = 2.027
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.85, Var(X) = 1.028, σX = 1.014
线性变换
σY = |2|·1.014 = 2.027
答案
σY = 2.027
均值确实会改变：E(Y) = 2·1.85 + 5 = 8.7。
5.正态分布
答案: z = 0.87
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.6157)/2 = 0.8078
反向查 z 表
在表中找到 0.8078，读出 z。
z = 0.87
答案
z = 0.87
6.正态分布
答案: x = 77.8 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.9
由表得到的 z
z ≈ 1.28
回到原来的单位
x = 65 + 1.28·10 = 77.8 分
答案
x = 77.8 分
7.置信区间
答案: 下限 = 84.06
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 4.032
误差范围
E = 4.032·3/√6 = 4.938
区间
89 ± 4.938 → [84.06, 93.94]
答案
下限 = 84.06
8.置信区间
答案: n = 3212
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·33/1.5)² = 3212
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 3212
答案
n = 3212
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.08076
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 24/√36 = 4
z = (255.6 − 250)/4 = 1.4
尾部面积
Φ(1.4) = 0.9192
1 − Φ(1.4) = 0.0808
p 值
p = 0.08076
答案
p = 0.08076
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 501.5
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·5/√36 = 2.147
区间端点
U = 499.4 + 2.147 = 501.5
答案
U = 501.5
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9954
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 312/5 = 62.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Syy = Σ(y − ȳ)² = 523.2
相关系数
r = 144/√(40·523.2) = 0.9954
答案
r = 0.9954
12.线性回归与相关
答案: e = −4.038
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 118/6 = 19.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47
回归直线
b = −47/17.5 = −2.686
a = 19.67 − (−2.686)·3.5 = 29.07
ŷ = 29.07 − 2.686·x
预测值
ŷ = 29.07 + (−2.686)·1.5 = 25.04
残差
e = 21 − 25.04 = −4.038
答案
e = −4.038
该点位于直线下方。
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