描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：37, 19, 14, 45, 36。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。数值低于 70 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 20x = 70
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.35, 0.3, 0.1
σ =
4.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.2
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0197。求 z，保留两位小数。
A = 0.0197
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 11 个个体的样本，均值为 11，标准差 s = 5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 11x̄ = 11s = 590%t(10) = 1.812
上限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 34。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 34E = 599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 101.9，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 101.9s = 8n = 25
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 150 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 103 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 150n₁ = 300x₂ = 103n₂ = 250
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 15？
n = 6ŷ = 15
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 151/5 = 30.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = 6.8² + (−11.2)² + (−16.2)² + 14.8² + 5.8² = 686.8
标准差
s = √(686.8/4) = 13.1
答案
s = 13.1
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: σ = 1.884
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 2·0.35 + 4·0.3 + 6·0.1 = 2.5
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 4·0.35 + 16·0.3 + 36·0.1 = 9.8
方差
Var(X) = 9.8 − 2.5² = 3.55
σ = √3.55 = 1.884
答案
σ = 1.884
4.概率
答案: P = 0.3221
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.811 = 0.0859
P(X = 1) = 11·0.2·0.810 = 0.2362
相加
P = 0.0859 + 0.2362 = 0.3221
答案
P = 0.3221
5.正态分布
答案: z = 2.06
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0197 = 0.9803
反向查 z 表
在表中找到 0.9803，读出 z。
z = 2.06
答案
z = 2.06
6.正态分布
答案: P = 0.9706
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89
概率
P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706
答案
P = 0.9706
7.置信区间
答案: 上限 = 13.73
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 10, t = 1.812
误差范围
E = 1.812·5/√11 = 2.732
区间
11 ± 2.732 → [8.268, 13.73]
答案
上限 = 13.73
8.置信区间
答案: n = 307
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·34/5)² = 306.8
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 307
答案
n = 307
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.188
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6
检验统计量
t = (101.9 − 100)/1.6 = 1.188
答案
t = 1.188
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 2.062
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 150/300 = 0.5
p̂₂ = 103/250 = 0.412
p̂ = 253/550 = 0.46
H₀ 下的标准误
SE = √(0.46·0.54·(1/300 + 1/250)) = 0.04268
检验统计量
z = (0.5 − 0.412)/0.04268 = 2.062
答案
z = 2.062
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9993
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 126/5 = 25.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
Syy = Σ(y − ȳ)² = 608.8
决定系数
r² = 156²/(40·608.8) = 0.9993
答案
r² = 0.9993
y 的变异中约有 99.93% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 3.729
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 94/6 = 15.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51
回归直线
b = −51/17.5 = −2.914
a = 15.67 − (−2.914)·3.5 = 25.87
ŷ = 25.87 − 2.914·x
解出 x
x = (15 − 25.87)/(−2.914) = 3.729
答案
x = 3.729
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