描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：14, 13, 53, 58, 43, 26, 22。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。数值低于 452 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 60x = 452
P =
3.概率中等
袋中有 3 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
3 / 4
P =
4.概率困难
一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.3k = 2
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9452。求 z，保留两位小数。
A = 0.9452
z =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
7.置信区间中等
测量 9 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 3，标准差为 3.9。 求平均差值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 9d̄ = 3sd = 3.999%t(8) = 3.355
E = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 9。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 9E = 299%
n =
9.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 105.8，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 105.8s = 12n = 36
t =
10.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 495.2。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 495.2σ = 20n = 2599%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (12, 79)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(12, 79)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 18.51
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 229/7 = 32.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−18.71)² + (−19.71)² + 20.29² + 25.29² + 10.29² + (−6.714)² + (−10.71)² = 2055
标准差
s = √(2055/6) = 18.51
答案
s = 18.51
2.描述统计
答案: P = 0.2119
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
答案
P = 0.2119
3.概率
答案: P = 0.1429
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0.1429
答案
P = 0.1429
4.概率
答案: P = 0.3241
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 15·0.32·0.74 = 15·0.09·0.2401 = 0.3241
答案
P = 0.3241
5.正态分布
答案: z = −1.6
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9452 = 0.0548
反向查 z 表
在表中找到 0.0548，读出 z。
z = −1.60
答案
z = −1.60
6.正态分布
答案: x = 551.3 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h
答案
x = 551.26 h
7.置信区间
答案: E = 4.362 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 8, t = 3.355
误差范围
E = 3.355·3.9/√9 = 4.362
答案
E = 4.362 mmHg
8.置信区间
答案: n = 135
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·9/2)² = 134.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 135
答案
n = 135
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
检验统计量
t = (105.8 − 100)/2 = 2.9
答案
t = 2.9
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 484.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·20/√25 = 10.3
区间端点
L = 495.2 − 10.3 = 484.9
答案
L = 484.9
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9846
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 615/6 = 102.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 299
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1318
相关系数
r = 299/√(70·1318) = 0.9846
答案
r = 0.9846
12.线性回归与相关
答案: e = −5.11
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 385/6 = 64.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 349
回归直线
b = 349/70 = 4.986
a = 64.17 − 4.986·8 = 24.28
ŷ = 24.28 + 4.986·x
预测值
ŷ = 24.28 + 4.986·12 = 84.11
残差
e = 79 − 84.11 = −5.11
答案
e = −5.11
该点位于直线下方。
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