描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：23, 51, 49, 27, 12, 31。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。求成绩 115 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 12x = 115
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.3, 0.35, 0.05, 0.25
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.05, 0.2, 0.2, 0.25Y = 5X + 4
σY =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.3594。求 z，保留两位小数。
A = 0.3594
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 4.9。 基于 200 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 100E₁ = 4.995%n₂ = 200
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 16。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 16E = 2.599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：15 名学生，平均分 37，标准差 5.5。第 2 组：6 名学生，平均分 39.8，标准差 4.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 15x̄₁ = 37s₁ = 5.5n₂ = 6x̄₂ = 39.8s₂ = 4.5
t =
10.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 118.9。总体标准差为 4。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 118.9σ = 4n = 3699%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 151Σx² = 364Σy² = 4577Σxy = 1290
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (25.5, 133)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(25.5, 133)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.21
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 193/6 = 32.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−9.167)² + 18.83² + 16.83² + (−5.167)² + (−20.17)² + (−1.167)² = 1157
标准差
s = √(1157/5) = 15.21
答案
s = 15.21
2.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (115 − 100)/12 = 1.25
答案
z = 1.25
3.概率
答案: σ = 1.236
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.05 + 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.25 = 2.15
平方的均值
E(X²) = 0·0.05 + 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.25 = 6.15
方差
Var(X) = 6.15 − 2.15² = 1.528
σ = √1.528 = 1.236
答案
σ = 1.236
4.概率
答案: σY = 7.822
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.05, Var(X) = 2.448, σX = 1.564
线性变换
σY = |5|·1.564 = 7.822
答案
σY = 7.822
均值确实会改变：E(Y) = 5·3.05 + 4 = 19.25。
5.正态分布
答案: z = 0.36
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.3594 = 0.6406
反向查 z 表
在表中找到 0.6406，读出 z。
z = 0.36
答案
z = 0.36
6.正态分布
答案: P = 0.8849
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2
概率
P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849
答案
P = 0.8849
7.置信区间
答案: E₂ = 2.636
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(100/200) = 0.538
新的误差范围
E₂ = 4.9·0.538 = 2.636
答案
E₂ = 2.636
8.置信区间
答案: n = 272
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·16/2.5)² = 271.8
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 272
答案
n = 272
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.103
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (14·5.5² + 5·4.5²)/19 = 27.62
sp = 5.255
标准误
SE = 5.255·√(1/15 + 1/6) = 2.539
检验统计量
t = (37 − 39.8)/2.539 = −1.103
答案
t = −1.103
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 120.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·4/√36 = 1.717
区间端点
U = 118.9 + 1.717 = 120.6
答案
U = 120.6
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9992
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1290 − 42·151/6 = 233
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 4577 − 151²/6 = 776.8
相关系数
r = 233/√(70·776.8) = 0.9992
答案
r = 0.9992
12.线性回归与相关
答案: e = −5.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 648/5 = 129.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513
回归直线
b = 513/90 = 5.7
a = 129.6 − 5.7·24 = −7.2
ŷ = −7.2 + 5.7·x
预测值
ŷ = −7.2 + 5.7·25.5 = 138.1
残差
e = 133 − 138.1 = −5.15
答案
e = −5.15
该点位于直线下方。
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