描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：59, 22, 39, 25, 31, 21。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。求成绩 80 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 20x = 80
z =
3.概率中等
从 14 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 14k = 4
N =
4.概率困难
测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.7
P =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 178 和 192 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 178x2 = 192
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 10 个个体的样本，均值为 70.5，标准差 s = 2。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 10x̄ = 70.5s = 299%t(9) = 3.25
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 5。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 5E = 1.599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 122.1，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 122.1s = 12n = 16
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 90 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 75 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 90n₁ = 150x₂ = 75n₂ = 150
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5.5, 20)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5.5, 20)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.46
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 197/6 = 32.83
离差平方
Σ(x − x̄)² = 26.17² + (−10.83)² + 6.167² + (−7.833)² + (−1.833)² + (−11.83)² = 1045
标准差
s = √(1045/5) = 14.46
答案
s = 14.46
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (80 − 50)/20 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: N = 1001
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
答案
N = 1001
4.概率
答案: P = 0.03078
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.35 = 0.00243
P(X = 1) = 5·0.7·0.34 = 0.02835
相加
P = 0.00243 + 0.02835 = 0.03078
答案
P = 0.03078
5.正态分布
答案: P = 0.4772
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (178 − 178)/7 = 0
z₂ = (192 − 178)/7 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(0) = 0.9772 − 0.5 = 0.4772
答案
P = 0.4772
6.正态分布
答案: P = 0.9772
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.05)/0.025 = −2
概率
P = 1 − Φ(−2) = 0.9772
答案
P = 0.9772
7.置信区间
答案: 下限 = 68.44
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 9, t = 3.25
误差范围
E = 3.25·2/√10 = 2.055
区间
70.5 ± 2.055 → [68.44, 72.56]
答案
下限 = 68.44
8.置信区间
答案: n = 74
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·5/1.5)² = 73.73
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 74
答案
n = 74
9.假设检验与置信区间
答案: t = 0.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
检验统计量
t = (122.1 − 120)/3 = 0.7
答案
t = 0.7
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 1.741
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 90/150 = 0.6
p̂₂ = 75/150 = 0.5
p̂ = 165/300 = 0.55
H₀ 下的标准误
SE = √(0.55·0.45·(1/150 + 1/150)) = 0.05745
检验统计量
z = (0.6 − 0.5)/0.05745 = 1.741
答案
z = 1.741
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9947
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 557/6 = 92.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 463
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3095
相关系数
r = 463/√(70·3095) = 0.9947
答案
r = 0.9947
12.线性回归与相关
答案: e = 4.552
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 116/6 = 19.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34
回归直线
b = −34/17.5 = −1.943
a = 19.33 − (−1.943)·3.5 = 26.13
ŷ = 26.13 − 1.943·x
预测值
ŷ = 26.13 + (−1.943)·5.5 = 15.45
残差
e = 20 − 15.45 = 4.552
答案
e = 4.552
该点位于直线上方。
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