描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：38, 37, 36, 41, 11, 46, 28。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值低于 82 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 82
P =
3.概率中等
从 8 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 8k = 4
N =
4.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.5k = 3
P =
5.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 23.3 和 36.8 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 23.3x2 = 36.8
P =
6.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 90% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分90%
x = 分
7.置信区间中等
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 11.7。 如果同一研究改用 450 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 50E₁ = 11.7n₂ = 450
E₂ =
8.置信区间困难
21 根机加工轴的直径样本标准差为 4.2 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。
n = 21s = 4.2 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −6.65，差值的标准差为 7.6。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 16d̄ = −6.65sd = 7.6
t =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 10。求最小样本量 n。
σ = 10E = 2.590%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 105Σy = 337Σx² = 2295Σy² = 24085Σxy = 7425
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (1.5, 41)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(1.5, 41)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.45
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 237/7 = 33.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = 4.143² + 3.143² + 2.143² + 7.143² + (−22.86)² + 12.14² + (−5.857)² = 786.9
标准差
s = √(786.9/6) = 11.45
答案
s = 11.45
2.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答案
P = 0.9332
3.概率
答案: N = 70
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70
答案
N = 70
4.概率
答案: P = 0.3125
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 10·0.53·0.52 = 10·0.125·0.25 = 0.3125
答案
P = 0.3125
5.正态分布
答案: P = 0.7146
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (23.3 − 32)/6 = −1.45
z₂ = (36.8 − 32)/6 = 0.8
中间面积
P = Φ(0.8) − Φ(−1.45) = 0.7881 − 0.07353 = 0.7146
答案
P = 0.7146
6.正态分布
答案: x = 119.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.9
由表得到的 z
z ≈ 1.28
回到原来的单位
x = 100 + 1.28·15 = 119.2 分
答案
x = 119.2 分
7.置信区间
答案: E₂ = 3.9
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(50/450) = 0.3333
新的误差范围
E₂ = 11.7·0.3333 = 3.9
答案
E₂ = 3.9
8.置信区间
答案: σ = 6.065 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 20·4.2² = 352.8
σ² 的限值
352.8/34.17 = 10.32
352.8/9.591 = 36.78
σ 的限值
σ = √36.78 = 6.065 µm
答案
σ = 6.065 µm
σ 的 95% 区间：[3.213, 6.065] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = −3.5
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 7.6/√16 = 1.9
检验统计量
t = −6.65/1.9 = −3.5
答案
t = −3.5
df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 44
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·10/2.5)² = 43.3
向上取整
n = 44
答案
n = 44
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9906
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 7425 − 105·337/5 = 348
Sxx = 2295 − 105²/5 = 90
Syy = 24085 − 337²/5 = 1371
相关系数
r = 348/√(90·1371) = 0.9906
答案
r = 0.9906
12.线性回归与相关
答案: e = 1.65
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 232/5 = 46.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47
回归直线
b = 47/10 = 4.7
a = 46.4 − 4.7·3 = 32.3
ŷ = 32.3 + 4.7·x
预测值
ŷ = 32.3 + 4.7·1.5 = 39.35
残差
e = 41 − 39.35 = 1.65
答案
e = 1.65
该点位于直线上方。
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