描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：11, 33, 22, 13, 39, 27, 20。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值低于 531.3 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 25x = 531.3
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 8
P =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.2 赢得 €3，以概率 0.05 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€3: p = 0.2€10: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 361.8 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 9> 361.8 g
P =
6.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 120.5 h，已知标准差 8 h。型号 2：40 部手机，均值 129.5 h，已知标准差 14 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 50x̄₁ = 120.5 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 129.5 hσ₂ = 14 h99%
E = h
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：12 块地，平均产量 70 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：9 块地，均值 82 kg，标准差 1 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 12x̄₁ = 70s₁ = 4.5n₂ = 9x̄₂ = 82s₂ = 190%t(19) = 1.729
E = kg
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 63 mm，该生产线的已知标准差为 17 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 66.5 mm，已知标准差为 11 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 100x̄₁ = 63 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 60x̄₂ = 66.5 mmσ₂ = 11 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 1.5 个单位的偏移。标准差为 13。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 1.5σ = 13zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 72Σx² = 220Σy² = 1216Σxy = 516
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 37？
n = 6ŷ = 37
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 10.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 165/7 = 23.57
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−12.57)² + 9.429² + (−1.571)² + (−10.57)² + 15.43² + 3.429² + (−3.571)² = 623.7
标准差
s = √(623.7/6) = 10.2
答案
s = 10.2
2.描述统计
答案: P = 0.8944
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944
答案
P = 0.8944
3.概率
答案: P = 0.7674
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674
答案
P = 0.7674
4.概率
答案: E(G) = 0.1 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 2 (p = 0.2), 9 (p = 0.05), −1 (p = 0.75)
期望值
E(G) = 2·0.2 + 9·0.05 − 1·0.75 = 0.1 €
答案
E(G) = 0.1 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.3085
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 360 g, σT = 1.2·√9 = 3.6 g
标准化
z = (361.8 − 360)/3.6 = 0.5
概率
P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085
答案
P = 0.3085
6.正态分布
答案: x = 39.69 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 32 + 1.282·6 = 39.69 min
答案
x = 39.69 min
7.置信区间
答案: E = 6.404 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 120.5 − 129.5 = −9
标准误
SE = √(8²/50 + 14²/40) = 2.486
误差范围
E = 2.576·2.486 = 6.404
答案
E = 6.404 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: E = 2.657 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (11·4.5² + 8·1²)/19 = 12.14
sp = 3.485
误差范围
E = 1.729·3.485·√(1/12 + 1/9) = 2.657
答案
E = 2.657 kg
9.假设检验与置信区间
答案: z = −1.58
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(17²/100 + 11²/60) = √4.907 = 2.215
检验统计量
z = (63 − 66.5)/2.215 = −1.58
答案
z = −1.58
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 754
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·13/1.5)² = 753.8
向上取整
n = 754
答案
n = 754
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9922
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 516 − 30·72/5 = 84
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1216 − 72²/5 = 179.2
相关系数
r = 84/√(40·179.2) = 0.9922
答案
r = 0.9922
12.线性回归与相关
答案: x = 18.12
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 267/6 = 44.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279
回归直线
b = 279/70 = 3.986
a = 44.5 − 3.986·20 = −35.21
ŷ = −35.21 + 3.986·x
解出 x
x = (37 − (−35.21))/3.986 = 18.12
答案
x = 18.12
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