统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：13, 52, 32, 60, 36, 16。

n = 6

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值低于 68 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 68

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.25, 0.3, 0.35

Var(X) =

4.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.1 赢得 €40，以概率 0.01 赢得 €500；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€40: p = 0.1€500: p = 0.01

E(G) = €

5.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量低于 202.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8< 202.8 kg

P =

6.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

7.置信区间中等

一个包含 9 个个体的样本，均值为 12.5，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 9x̄ = 12.5s = 490%t(8) = 1.86

E =

8.置信区间困难

15 根机加工轴的直径样本标准差为 5.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。

n = 15s = 5.7 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 18。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 252.7。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ > 250。求 p 值 p。

μ₀ = 250σ = 18n = 36x̄ = 252.7H₁: μ > μ₀

p =

10.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 503.2。总体标准差为 15。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 503.2σ = 15n = 4999%

L =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4.5 时的 ŷ。

n = 6x = 4.5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 18.81

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 209/6 = 34.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−21.83)² + 17.17² + (−2.833)² + 25.17² + 1.167² + (−18.83)² = 1769

标准差

s = √(1769/5) = 18.81

答案

s = 18.81

2.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

答案

P = 0.9332

3.概率

答案: Var(X) = 99

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.1 + 20·0.25 + 30·0.3 + 40·0.35 = 29

平方的均值

E(X²) = 100·0.1 + 400·0.25 + 900·0.3 + 1600·0.35 = 940

方差

Var(X) = 940 − 29² = 99

答案

Var(X) = 99

4.概率

答案: E(G) = −1 €

净结果

G: 30 (p = 0.1), 490 (p = 0.01), −10 (p = 0.89)

期望值

E(G) = 30·0.1 + 490·0.01 − 10·0.89 = −1 €

答案

E(G) = −1 €

负值表示平均而言你会亏钱。

5.正态分布

答案: P = 0.9761

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 200 kg, σ_T = 0.5·√8 = 1.414 kg

标准化

z = (202.8 − 200)/1.414 = 1.98

概率

P = Φ(1.98) = 0.9761

答案

P = 0.9761

6.正态分布

答案: x = 245.8 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g

答案

x = 245.79 g

7.置信区间

答案: E = 2.48

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 8, t = 1.86

误差范围

E = 1.86·4/√9 = 2.48

答案

E = 2.48

8.置信区间

答案: σ = 8.989 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 14·5.7² = 454.9

σ² 的限值

454.9/26.119 = 17.41

454.9/5.629 = 80.81

σ 的限值

σ = √80.81 = 8.989 µm

答案

σ = 8.989 µm

σ 的 95% 区间：[4.173, 8.989] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: p = 0.1841

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 18/√36 = 3

z = (252.7 − 250)/3 = 0.9

尾部面积

Φ(0.9) = 0.8159

1 − Φ(0.9) = 0.1841

p 值

p = 0.1841

答案

p = 0.1841

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

10.假设检验与置信区间

答案: L = 497.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·15/√49 = 5.52

区间端点

L = 503.2 − 5.52 = 497.7

答案

L = 497.7

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.985

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 426/6 = 71

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 426

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2632

决定系数

r² = 426²/(70·2632) = 0.985

答案

r² = 0.985

y 的变异中约有 98.5% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 67.33

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 404/6 = 67.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89

回归直线

b = 89/17.5 = 5.086

a = 67.33 − 5.086·4.5 = 44.45

ŷ = 44.45 + 5.086·x

预测

ŷ = 44.45 + 5.086·4.5 = 67.33

答案

ŷ = 67.33

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