描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：30, 46, 33, 39, 24, 10, 36。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。数值低于 140 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 20x = 140
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X + 20。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = −2X + 20
σY =
5.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 240 和 257.75 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 240x2 = 257.75
P =
6.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 40% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
7.置信区间中等
基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 3.1。 用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 25E₁ = 3.195%
E₂ =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 84.5 kg，标准差 3 kg。地块组 2：9 块地，均值 87.5 kg，标准差 1.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 7x̄₁ = 84.5s₁ = 3n₂ = 9x̄₂ = 87.5s₂ = 1.599%t(14) = 2.977
E = kg
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 30。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 74.85。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ ≠ 80。求 p 值 p。
μ₀ = 80σ = 30n = 144x̄ = 74.85H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 19。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 3σ = 19zα = 1.645zβ = 1.645
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 11 时的 ŷ。
n = 6x = 11
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.61
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 218/7 = 31.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−1.143)² + 14.86² + 1.857² + 7.857² + (−7.143)² + (−21.14)² + 4.857² = 808.9
标准差
s = √(808.9/6) = 11.61
答案
s = 11.61
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: σ = 0.8367
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7
方差
Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7
σ = √0.7 = 0.8367
答案
σ = 0.8367
4.概率
答案: σY = 1.609
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
线性变换
σY = |−2|·0.8047 = 1.609
答案
σY = 1.609
均值确实会改变：E(Y) = −2·0.95 + 20 = 18.1。
5.正态分布
答案: P = 0.9167
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (240 − 250)/5 = −2
z₂ = (257.75 − 250)/5 = 1.55
中间面积
P = Φ(1.55) − Φ(−2) = 0.9394 − 0.02275 = 0.9167
答案
P = 0.9167
6.正态分布
答案: x = 510 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.6
由表得到的 z
z ≈ 0.25
回到原来的单位
x = 500 + 0.25·40 = 510 h
答案
x = 510 h
7.置信区间
答案: E₂ = 3.694
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(25/25) = 1.191
新的误差范围
E₂ = 3.1·1.191 = 3.694
答案
E₂ = 3.694
8.置信区间
答案: E = 3.402 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·3² + 8·1.5²)/14 = 5.143
sp = 2.268
误差范围
E = 2.977·2.268·√(1/7 + 1/9) = 3.402
答案
E = 3.402 kg
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.0394
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 30/√144 = 2.5
z = (74.85 − 80)/2.5 = −2.06
尾部面积
Φ(2.06) = 0.9803
1 − Φ(2.06) = 0.0197
p 值
p = 2·0.0197 = 0.0394
答案
p = 0.0394
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 435
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·19/3)² = 434.2
向上取整
n = 435
答案
n = 435
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9831
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 416/6 = 69.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119
Syy = Σ(y − ȳ)² = 837.3
相关系数
r = 119/√(17.5·837.3) = 0.9831
答案
r = 0.9831
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 96.17
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 445/6 = 74.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 385
回归直线
b = 385/70 = 5.5
a = 74.17 − 5.5·7 = 35.67
ŷ = 35.67 + 5.5·x
预测
ŷ = 35.67 + 5.5·11 = 96.17
答案
ŷ = 96.17
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