描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：23, 57, 45, 53, 21, 26。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值低于 65 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 5x = 65
P =
3.概率中等
袋中有 8 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 6
P =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.3 赢得 €12，以概率 0.05 赢得 €30；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €3€12: p = 0.3€30: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6923。求 z，保留两位小数。
A = 0.6923
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 74，标准差 s = 14.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 25x̄ = 74s = 14.599%t(24) = 2.797
下限 =
8.置信区间困难
15 根机加工轴的直径样本标准差为 5.8 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。
n = 15s = 5.8 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 499.2，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 499.2s = 5n = 81
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 20 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 48 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 20n₁ = 100x₂ = 48n₂ = 300
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。
n = 5x = 9
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.07
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 225/6 = 37.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−14.5)² + 19.5² + 7.5² + 15.5² + (−16.5)² + (−11.5)² = 1292
标准差
s = √(1292/5) = 16.07
答案
s = 16.07
2.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答案
P = 0.1587
3.概率
答案: P = 0.3077
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0.3077
答案
P = 0.3077
4.概率
答案: E(G) = 2.1 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 9 (p = 0.3), 27 (p = 0.05), −3 (p = 0.65)
期望值
E(G) = 9·0.3 + 27·0.05 − 3·0.65 = 2.1 €
答案
E(G) = 2.1 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: z = 1.02
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.6923)/2 = 0.8461
反向查 z 表
在表中找到 0.8461，读出 z。
z = 1.02
答案
z = 1.02
6.正态分布
答案: P = 0.8849
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2
概率
P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849
答案
P = 0.8849
7.置信区间
答案: 下限 = 65.89
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.797
误差范围
E = 2.797·14.5/√25 = 8.111
区间
74 ± 8.111 → [65.89, 82.11]
答案
下限 = 65.89
8.置信区间
答案: σ = 9.147 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 14·5.8² = 471
σ² 的限值
471/26.119 = 18.03
471/5.629 = 83.67
σ 的限值
σ = √83.67 = 9.147 µm
答案
σ = 9.147 µm
σ 的 95% 区间：[4.246, 9.147] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.44
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√81 = 5/9 = 0.5556
检验统计量
t = (499.2 − 500)/0.5556 = −1.44
答案
t = −1.44
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 0.9222
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 20/100 = 0.2
p̂₂ = 48/300 = 0.16
p̂ = 68/400 = 0.17
H₀ 下的标准误
SE = √(0.17·0.83·(1/100 + 1/300)) = 0.04337
检验统计量
z = (0.2 − 0.16)/0.04337 = 0.9222
答案
z = 0.9222
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9797
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 153/6 = 25.5
ȳ = 860/6 = 143.3
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 918
Syy = Σ(y − ȳ)² = 5461
决定系数
r² = 918²/(157.5·5461) = 0.9797
答案
r² = 0.9797
y 的变异中约有 97.97% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 34.7
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 115/5 = 23
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
回归直线
b = 156/40 = 3.9
a = 23 − 3.9·6 = −0.4
ŷ = −0.4 + 3.9·x
预测
ŷ = −0.4 + 3.9·9 = 34.7
答案
ŷ = 34.7
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