描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：34, 17, 56, 45, 25。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。求成绩 74 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 10x = 74
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.35, 0.15, 0.15
Var(X) =
4.概率困难
测试 8 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.2
P =
5.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 12 个的总质量超过 145.4 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 12> 145.4 kg
P =
6.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 10%
x = g
7.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 83，标准差 s = 9。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 25x̄ = 83s = 995%t(24) = 2.064
E =
8.置信区间困难
25 根机加工轴的直径样本标准差为 9.4 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。
n = 25s = 9.4 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 121.2，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 121.2s = 4n = 16
t =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 5。求最小样本量 n。
σ = 5E = 390%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 73Σx² = 55Σy² = 1183Σxy = 186
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 4.5 时的 ŷ。
n = 6x = 4.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.53
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 177/5 = 35.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−1.4)² + (−18.4)² + 20.6² + 9.6² + (−10.4)² = 965.2
标准差
s = √(965.2/4) = 15.53
答案
s = 15.53
2.描述统计
答案: z = 0.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (74 − 70)/10 = 0.4
答案
z = 0.4
3.概率
答案: Var(X) = 1.09
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.35 + 2·0.35 + 3·0.15 + 4·0.15 = 2.1
平方的均值
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.35 + 9·0.15 + 16·0.15 = 5.5
方差
Var(X) = 5.5 − 2.1² = 1.09
答案
Var(X) = 1.09
4.概率
答案: P = 0.5033
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.88 = 0.1678
P(X = 1) = 8·0.2·0.87 = 0.3355
相加
P = 0.1678 + 0.3355 = 0.5033
答案
P = 0.5033
5.正态分布
答案: P = 0.305
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 144 kg, σT = 0.8·√12 = 2.771 kg
标准化
z = (145.4 − 144)/2.771 = 0.51
概率
P = 1 − Φ(0.51) = 0.305
答案
P = 0.305
6.正态分布
答案: x = 243.6 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 250 + −1.282·5 = 243.59 g
答案
x = 243.59 g
7.置信区间
答案: E = 3.715
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.064
误差范围
E = 2.064·9/√25 = 3.715
答案
E = 3.715
8.置信区间
答案: σ = 13.08 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 24·9.4² = 2121
σ² 的限值
2121/39.364 = 53.87
2121/12.401 = 171
σ 的限值
σ = √171 = 13.08 µm
答案
σ = 13.08 µm
σ 的 95% 区间：[7.34, 13.08] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
检验统计量
t = (121.2 − 120)/1 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·5/3)² = 7.517
向上取整
n = 8
答案
n = 8
11.线性回归与相关
答案: r = −0.9639
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 186 − 15·73/5 = −33
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1183 − 73²/5 = 117.2
相关系数
r = −33/√(10·117.2) = −0.9639
答案
r = −0.9639
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 50.94
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 289/6 = 48.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48.5
回归直线
b = 48.5/17.5 = 2.771
a = 48.17 − 2.771·3.5 = 38.47
ŷ = 38.47 + 2.771·x
预测
ŷ = 38.47 + 2.771·4.5 = 50.94
答案
ŷ = 50.94
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1