描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：42, 47, 23, 23, 35, 12, 48。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。数值低于 107.5 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 5x = 107.5
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.3, 0.25, 0.25
σ =
4.概率困难
测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.6
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9762。求 z，保留两位小数。
A = 0.9762
z =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
7.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 76.5，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 21x̄ = 76.5s = 1399%t(20) = 2.845
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 18E = 1.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 15。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 254.75。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ > 250。求 p 值 p。
μ₀ = 250σ = 15n = 36x̄ = 254.75H₁: μ > μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 496。总体标准差为 15。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 496σ = 15n = 8195%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 121Σx² = 364Σy² = 3009Σxy = 1046
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 60？
n = 6ŷ = 60
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.83
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 230/7 = 32.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9.143² + 14.14² + (−9.857)² + (−9.857)² + 2.143² + (−20.86)² + 15.14² = 1147
标准差
s = √(1147/6) = 13.83
答案
s = 13.83
2.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答案
P = 0.9332
3.概率
答案: σ = 1.071
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.2 + 1·0.3 + 2·0.25 + 3·0.25 = 1.55
平方的均值
E(X²) = 0·0.2 + 1·0.3 + 4·0.25 + 9·0.25 = 3.55
方差
Var(X) = 3.55 − 1.55² = 1.147
σ = √1.147 = 1.071
答案
σ = 1.071
4.概率
答案: P = 0.08704
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.45 = 0.01024
P(X = 1) = 5·0.6·0.44 = 0.0768
相加
P = 0.01024 + 0.0768 = 0.08704
答案
P = 0.08704
5.正态分布
答案: z = 2.26
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9762)/2 = 0.9881
反向查 z 表
在表中找到 0.9881，读出 z。
z = 2.26
答案
z = 2.26
6.正态分布
答案: x = 434.2 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
换算回 x
x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h
答案
x = 434.2 h
7.置信区间
答案: 下限 = 68.43
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.845
误差范围
E = 2.845·13/√21 = 8.071
区间
76.5 ± 8.071 → [68.43, 84.57]
答案
下限 = 68.43
8.置信区间
答案: n = 554
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·18/1.5)² = 553.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 554
答案
n = 554
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.02872
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 15/√36 = 2.5
z = (254.75 − 250)/2.5 = 1.9
尾部面积
Φ(1.9) = 0.9713
1 − Φ(1.9) = 0.0287
p 值
p = 0.02872
答案
p = 0.02872
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 492.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·15/√81 = 3.267
区间端点
L = 496 − 3.267 = 492.7
答案
L = 492.7
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9973
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1046 − 42·121/6 = 199
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 3009 − 121²/6 = 568.8
相关系数
r = 199/√(70·568.8) = 0.9973
答案
r = 0.9973
12.线性回归与相关
答案: x = 7.193
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 354/6 = 59
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 362
回归直线
b = 362/70 = 5.171
a = 59 − 5.171·7 = 22.8
ŷ = 22.8 + 5.171·x
解出 x
x = (60 − 22.8)/5.171 = 7.193
答案
x = 7.193
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