描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：35, 18, 59, 60, 34, 37。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 5。求成绩 57.5 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 5x = 57.5
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.1, 0.3, 0.25
σ =
4.概率困难
一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.1，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.1k = 5
P =
5.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量低于 539.4 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6< 539.4 kg
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 13 个个体的样本，均值为 67，标准差 s = 15.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 13x̄ = 67s = 15.599%t(12) = 3.055
E =
8.置信区间困难
21 根机加工轴的直径样本标准差为 11.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。
n = 21s = 11.5 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：21 名学生，平均分 53.5，标准差 3。第 2 组：5 名学生，平均分 51，标准差 4。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 21x̄₁ = 53.5s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 51s₂ = 4
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 2 个单位的偏移。标准差为 16。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 2σ = 16zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 115Σy = 659Σx² = 2735Σy² = 90271Σxy = 15709
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3, 5)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(3, 5)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.21
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 243/6 = 40.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−5.5)² + (−22.5)² + 18.5² + 19.5² + (−6.5)² + (−3.5)² = 1314
标准差
s = √(1314/5) = 16.21
答案
s = 16.21
2.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (57.5 − 60)/5 = −0.5
答案
z = −0.5
3.概率
答案: σ = 12.03
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.35 + 20·0.1 + 30·0.3 + 40·0.25 = 24.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.35 + 400·0.1 + 900·0.3 + 1600·0.25 = 745
方差
Var(X) = 745 − 24.5² = 144.8
σ = √144.8 = 12.03
答案
σ = 12.03
4.概率
答案: P = 5.4 × 10⁻⁵
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 6·0.15·0.91 = 6·1 × 10⁻⁵·0.9 = 5.4 × 10⁻⁵
答案
P = 5.4 × 10⁻⁵
5.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 510 kg, σT = 12·√6 = 29.39 kg
标准化
z = (539.4 − 510)/29.39 = 1
概率
P = Φ(1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
6.正态分布
答案: P = 0.983
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01414 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.01414 = −2.12
概率
P = 1 − Φ(−2.12) = 0.983
答案
P = 0.983
7.置信区间
答案: E = 13.13
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 12, t = 3.055
误差范围
E = 3.055·15.5/√13 = 13.13
答案
E = 13.13
8.置信区间
答案: σ = 8.798 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 20·11.5² = 2645
σ² 的限值
2645/34.17 = 77.41
2645/9.591 = 275.8
σ 的限值
σ = √77.41 = 8.798 µm
答案
σ = 8.798 µm
σ 的 95% 区间：[8.798, 16.61] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.576
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (20·3² + 4·4²)/24 = 10.17
sp = 3.189
标准误
SE = 3.189·√(1/21 + 1/5) = 1.587
检验统计量
t = (53.5 − 51)/1.587 = 1.576
答案
t = 1.576
df = 24 时，双侧 5% 的临界值为 2.064；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 396
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·16/2)² = 395.9
向上取整
n = 396
答案
n = 396
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9957
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 15709 − 115·659/5 = 552
Sxx = 2735 − 115²/5 = 90
Syy = 90271 − 659²/5 = 3415
相关系数
r = 552/√(90·3415) = 0.9957
答案
r = 0.9957
12.线性回归与相关
答案: e = −2.9
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 86/5 = 17.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
回归直线
b = 124/40 = 3.1
a = 17.2 − 3.1·6 = −1.4
ŷ = −1.4 + 3.1·x
预测值
ŷ = −1.4 + 3.1·3 = 7.9
残差
e = 5 − 7.9 = −2.9
答案
e = −2.9
该点位于直线下方。
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