统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：14, 13, 46, 13, 13, 51, 37。

n = 7

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。求成绩 109 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 15x = 109

z =

3.概率中等

从 9 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 9k = 3

N =

4.概率困难

测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.4

P =

5.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 200.6 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.6 mm

P =

6.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 135.5 h，已知标准差 17 h。型号 2：30 部手机，均值 139.5 h，已知标准差 13 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 80x̄₁ = 135.5 hσ₁ = 17 hn₂ = 30x̄₂ = 139.5 hσ₂ = 13 h90%

下限 = h

8.置信区间困难

总体标准差为 6。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 6E = 0.595%

n =

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：60 个零件的样本平均长度为 97.5 mm，该生产线的已知标准差为 5 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 100.5 mm，已知标准差为 17 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 60x̄₁ = 97.5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 60x̄₂ = 100.5 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 74。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的上限 U。

x̄ = 74σ = 4n = 6490%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 21)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 21)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 17.29

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 187/7 = 26.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12.71)² + (−13.71)² + 19.29² + (−13.71)² + (−13.71)² + 24.29² + 10.29² = 1793

标准差

s = √(1793/6) = 17.29

答案

s = 17.29

2.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (109 − 100)/15 = 0.6

答案

z = 0.6

3.概率

答案: N = 84

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

答案

N = 84

4.概率

答案: P = 0.1586

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.6⁷ = 0.02799

P(X = 1) = 7·0.4·0.6⁶ = 0.1306

相加

P = 0.02799 + 0.1306 = 0.1586

答案

P = 0.1586

5.正态分布

答案: P = 0.1151

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (200.6 − 200)/0.5 = 1.2

上尾

P = 1 − Φ(1.2) = 1 − 0.8849 = 0.1151

答案

P = 0.1151

6.正态分布

答案: x = 39.69 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 32 + 1.282·6 = 39.69 min

答案

x = 39.69 min

7.置信区间

答案: 下限 = −9.002 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 135.5 − 139.5 = −4

标准误

SE = √(17²/80 + 13²/30) = 3.041

误差范围

E = 1.645·3.041 = 5.002

区间

−4 ± 5.002 → [−9.002, 1.002]

答案

下限 = −9.002 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

8.置信区间

答案: n = 554

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·6/0.5)² = 553.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 554

答案

n = 554

9.假设检验与置信区间

答案: z = −1.311

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(5²/60 + 17²/60) = √5.233 = 2.288

检验统计量

z = (97.5 − 100.5)/2.288 = −1.311

答案

z = −1.311

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 74.82

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·4/√64 = 0.8225

区间端点

U = 74 + 0.8225 = 74.82

答案

U = 74.82

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9018

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 399/6 = 66.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 291

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1342

决定系数

r² = 291²/(70·1342) = 0.9018

答案

r² = 0.9018

y 的变异中约有 90.18% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: e = 2.4

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 108/5 = 21.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

回归直线

b = −20/10 = −2

a = 21.6 − (−2)·3 = 27.6

ŷ = 27.6 − 2·x

预测值

ŷ = 27.6 + (−2)·4.5 = 18.6

残差

e = 21 − 18.6 = 2.4

答案

e = 2.4

该点位于直线上方。

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