描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：51, 26, 11, 21, 39, 31。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。数值低于 75 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 12x = 75
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35
Var(X) =
4.概率困难
测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.1
P =
5.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 100 和 103.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 100x2 = 103.75
P =
6.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 10% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g10%
x = g
7.置信区间中等
一个包含 16 个个体的样本，均值为 83，标准差 s = 15。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 16x̄ = 83s = 1599%t(15) = 2.947
上限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：9 块地，平均产量 22 kg，标准差 3 kg。地块组 2：5 块地，均值 12 kg，标准差 1.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 9x̄₁ = 22s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 12s₂ = 1.595%t(12) = 2.179
E = kg
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 110.5 mm，该生产线的已知标准差为 3 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 114 mm，已知标准差为 20 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 30x̄₁ = 110.5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 50x̄₂ = 114 mmσ₂ = 20 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
49 次测量的样本均值为 116.1。总体标准差为 15。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 116.1σ = 15n = 4999%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 351Σx² = 220Σy² = 25953Σxy = 2334
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 27.5 时的 ŷ。
n = 5x = 27.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.01
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 179/6 = 29.83
离差平方
Σ(x − x̄)² = 21.17² + (−3.833)² + (−18.83)² + (−8.833)² + 9.167² + 1.167² = 980.8
标准差
s = √(980.8/5) = 14.01
答案
s = 14.01
2.描述统计
答案: P = 0.8944
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944
答案
P = 0.8944
3.概率
答案: Var(X) = 0.7
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7
方差
Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7
答案
Var(X) = 0.7
4.概率
答案: P = 0.8503
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.97 = 0.4783
P(X = 1) = 7·0.1·0.96 = 0.372
相加
P = 0.4783 + 0.372 = 0.8503
答案
P = 0.8503
5.正态分布
答案: P = 0.09871
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (100 − 100)/15 = 0
z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(0) = 0.5987 − 0.5 = 0.09871
答案
P = 0.09871
6.正态分布
答案: x = 256.4 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.9
由表得到的 z
z ≈ 1.28
回到原来的单位
x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g
答案
x = 256.4 g
7.置信区间
答案: 上限 = 94.05
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 15, t = 2.947
误差范围
E = 2.947·15/√16 = 11.05
区间
83 ± 11.05 → [71.95, 94.05]
答案
上限 = 94.05
8.置信区间
答案: E = 3.158 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (8·3² + 4·1.5²)/12 = 6.75
sp = 2.598
误差范围
E = 2.179·2.598·√(1/9 + 1/5) = 3.158
答案
E = 3.158 kg
9.假设检验与置信区间
答案: z = −1.215
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(3²/30 + 20²/50) = √8.3 = 2.881
检验统计量
z = (110.5 − 114)/2.881 = −1.215
答案
z = −1.215
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 110.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·15/√49 = 5.52
区间端点
L = 116.1 − 5.52 = 110.6
答案
L = 110.6
11.线性回归与相关
答案: r = 0.995
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 2334 − 30·351/5 = 228
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 25953 − 351²/5 = 1313
相关系数
r = 228/√(40·1313) = 0.995
答案
r = 0.995
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 79.8
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 330/5 = 66
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276
回归直线
b = 276/90 = 3.067
a = 66 − 3.067·23 = −4.533
ŷ = −4.533 + 3.067·x
预测
ŷ = −4.533 + 3.067·27.5 = 79.8
答案
ŷ = 79.8
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