统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：49, 21, 15, 30, 38, 10, 29。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值高于 32 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 32

P =

3.概率中等

袋中有 3 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

3 / 4

P =

4.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.1，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.1k = 1

P =

5.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 5 个的总质量低于 198.7 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 5< 198.7 g

P =

6.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 84 h，已知标准差 5 h。型号 2：60 部手机，均值 83 h，已知标准差 7 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 40x̄₁ = 84 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 83 hσ₂ = 7 h90%

上限 = h

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：9 块地，平均产量 60 kg，标准差 5 kg。地块组 2：5 块地，均值 61 kg，标准差 4.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 9x̄₁ = 60s₁ = 5n₂ = 5x̄₂ = 61s₂ = 4.599%t(12) = 3.055

上限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 41.5 mm，该生产线的已知标准差为 15 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 43.3 mm，已知标准差为 10 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 41.5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 100x̄₂ = 43.3 mmσ₂ = 10 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 20。求最小样本量 n。

σ = 20E = 299%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4, 53)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4, 53)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 13.45

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 192/7 = 27.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = 21.57² + (−6.429)² + (−12.43)² + 2.571² + 10.57² + (−17.43)² + 1.571² = 1086

标准差

s = √(1086/6) = 13.45

答案

s = 13.45

2.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

3.概率

答案: P = 0.1429

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0.1429

答案

P = 0.1429

4.概率

答案: P = 0.3281

二项分布公式

P(X = 1) = 5·0.1¹·0.9⁴ = 5·0.1·0.6561 = 0.3281

答案

P = 0.3281

5.正态分布

答案: P = 0.3156

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 200 g, σ_T = 1.2·√5 = 2.683 g

标准化

z = (198.7 − 200)/2.683 = −0.48

概率

P = Φ(−0.48) = 0.3156

答案

P = 0.3156

6.正态分布

答案: P = 0.7389

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

7.置信区间

答案: 上限 = 2.975 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 84 − 83 = 1

标准误

SE = √(5²/40 + 7²/60) = 1.201

误差范围

E = 1.645·1.201 = 1.975

区间

1 ± 1.975 → [−0.9751, 2.975]

答案

上限 = 2.975 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

8.置信区间

答案: 上限 = 7.246 kg

合并标准差

s_p² = (8·5² + 4·4.5²)/12 = 23.42

s_p = 4.839

误差范围

E = 3.055·4.839·√(1/9 + 1/5) = 8.246

区间

−1 ± 8.246 → [−9.246, 7.246]

答案

上限 = 7.246 kg

9.假设检验与置信区间

答案: z = −0.9985

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(15²/100 + 10²/100) = √3.25 = 1.803

检验统计量

z = (41.5 − 43.3)/1.803 = −0.9985

答案

z = −0.9985

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 664

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (2.576·20/2)² = 663.6

向上取整

n = 664

答案

n = 664

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9423

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 333/5 = 66.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 187.2

决定系数

r² = 84²/(40·187.2) = 0.9423

答案

r² = 0.9423

y 的变异中约有 94.23% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: e = −4.3

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 348/5 = 69.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

回归直线

b = 164/40 = 4.1

a = 69.6 − 4.1·7 = 40.9

ŷ = 40.9 + 4.1·x

预测值

ŷ = 40.9 + 4.1·4 = 57.3

残差

e = 53 − 57.3 = −4.3

答案

e = −4.3

该点位于直线下方。

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