描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：18, 29, 43, 10, 31。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值高于 163.6 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 8x = 163.6
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.35, 0.1, 0.15, 0.1
Var(X) =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.15, 0.3, 0.3Y = −2X + 5
σY =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8690。求 z，保留两位小数。
A = 0.8690
z =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 75% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分75%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 92.5，标准差 s = 16.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 25x̄ = 92.5s = 16.595%t(24) = 2.064
下限 =
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.6 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.01？
p ≈ 0.6E = 0.0199%
n =
9.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 81，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 81s = 20n = 49
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 1 个单位的偏移。标准差为 7。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 1σ = 7zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4.5, 17)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(4.5, 17)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 12.68
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 131/5 = 26.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−8.2)² + 2.8² + 16.8² + (−16.2)² + 4.8² = 642.8
标准差
s = √(642.8/4) = 12.68
答案
s = 12.68
2.描述统计
答案: P = 0.7881
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
答案
P = 0.7881
3.概率
答案: Var(X) = 1.74
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.1 + 4·0.15 + 5·0.1 = 2.4
平方的均值
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.1 + 16·0.15 + 25·0.1 = 7.5
方差
Var(X) = 7.5 − 2.4² = 1.74
答案
Var(X) = 1.74
4.概率
答案: σY = 23.04
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 26.5, Var(X) = 132.8, σX = 11.52
线性变换
σY = |−2|·11.52 = 23.04
答案
σY = 23.04
均值确实会改变：E(Y) = −2·26.5 + 5 = −48。
5.正态分布
答案: z = 1.51
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8690)/2 = 0.9345
反向查 z 表
在表中找到 0.9345，读出 z。
z = 1.51
答案
z = 1.51
6.正态分布
答案: x = 58.3 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.25
由表得到的 z
z ≈ −0.67
回到原来的单位
x = 65 − 0.67·10 = 58.3 分
答案
x = 58.3 分
7.置信区间
答案: 下限 = 85.69
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.064
误差范围
E = 2.064·16.5/√25 = 6.811
区间
92.5 ± 6.811 → [85.69, 99.31]
答案
下限 = 85.69
8.置信区间
答案: n = 15926
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.6·0.4/0.01² = 15926
向上取整
n = 15926
答案
n = 15926
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857
检验统计量
t = (81 − 75)/2.857 = 2.1
答案
t = 2.1
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 492
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·7/1)² = 491.8
向上取整
n = 492
答案
n = 492
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9149
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 274/5 = 54.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31
Syy = Σ(y − ȳ)² = 114.8
相关系数
r = 31/√(10·114.8) = 0.9149
答案
r = 0.9149
12.线性回归与相关
答案: e = −3.45
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
回归直线
b = −17/10 = −1.7
a = 23 − (−1.7)·3 = 28.1
ŷ = 28.1 − 1.7·x
预测值
ŷ = 28.1 + (−1.7)·4.5 = 20.45
残差
e = 17 − 20.45 = −3.45
答案
e = −3.45
该点位于直线下方。
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