描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：40, 22, 24, 18, 43。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值高于 82 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 82
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.35, 0.3, 0.1
Var(X) =
4.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.7k = 2
P =
5.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 245.25 和 260.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 245.25x2 = 260.25
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 62，标准差 s = 2.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 6x̄ = 62s = 2.599%t(5) = 4.032
E =
8.置信区间困难
总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 18E = 299%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 97 mm，该生产线的已知标准差为 9 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 95.4 mm，已知标准差为 10 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 50x̄₁ = 97 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 40x̄₂ = 95.4 mmσ₂ = 10 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 11。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 95%δ = 4σ = 11zα = 2.326zβ = 1.645
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 7 时的 ŷ。
n = 6x = 7
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.3
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 147/5 = 29.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 10.6² + (−7.4)² + (−5.4)² + (−11.4)² + 13.6² = 511.2
标准差
s = √(511.2/4) = 11.3
答案
s = 11.3
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: Var(X) = 3.55
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 2·0.35 + 4·0.3 + 6·0.1 = 2.5
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 4·0.35 + 16·0.3 + 36·0.1 = 9.8
方差
Var(X) = 9.8 − 2.5² = 3.55
答案
Var(X) = 3.55
4.概率
答案: P = 0.1323
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 10·0.72·0.33 = 10·0.49·0.027 = 0.1323
答案
P = 0.1323
5.正态分布
答案: P = 0.8088
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (245.25 − 250)/5 = −0.95
z₂ = (260.25 − 250)/5 = 2.05
中间面积
P = Φ(2.05) − Φ(−0.95) = 0.9798 − 0.1711 = 0.8088
答案
P = 0.8088
6.正态分布
答案: P = 0.9099
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34
概率
P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099
答案
P = 0.9099
7.置信区间
答案: E = 4.115
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 4.032
误差范围
E = 4.032·2.5/√6 = 4.115
答案
E = 4.115
8.置信区间
答案: n = 538
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·18/2)² = 537.5
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 538
答案
n = 538
9.假设检验与置信区间
答案: z = 0.7883
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(9²/50 + 10²/40) = √4.12 = 2.03
检验统计量
z = (97 − 95.4)/2.03 = 0.7883
答案
z = 0.7883
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 120
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 1.645)·11/4)² = 119.3
向上取整
n = 120
答案
n = 120
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9901
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 281/6 = 46.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 142.8
相关系数
r = 49.5/√(17.5·142.8) = 0.9901
答案
r = 0.9901
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 18.33
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 110/6 = 18.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
回归直线
b = 172/70 = 2.457
a = 18.33 − 2.457·7 = 1.133
ŷ = 1.133 + 2.457·x
预测
ŷ = 1.133 + 2.457·7 = 18.33
答案
ŷ = 18.33
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