描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：13, 25, 28, 33, 43, 29。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。数值高于 88 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 8x = 88
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.1, 0.35, 0.3, 0.1Y = 10X + 1
σY =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9576。求 z，保留两位小数。
A = 0.9576
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 18，标准差 s = 19。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 9x̄ = 18s = 1999%t(8) = 3.355
下限 =
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.7 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p ≈ 0.7E = 0.0395%
n =
9.假设检验与置信区间中等
10 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 2.57，差值的标准差为 3.7。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 10d̄ = 2.57sd = 3.7
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 12。实际上均值为 505.6。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 505.6σ = 12n = 36α = 0.01
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 120Σy = 516Σx² = 2470Σy² = 45962Σxy = 10646
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3.5, 42)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(3.5, 42)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 9.834
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 171/6 = 28.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−15.5)² + (−3.5)² + (−0.5)² + 4.5² + 14.5² + 0.5² = 483.5
标准差
s = √(483.5/5) = 9.834
答案
s = 9.834
2.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
答案
P = 0.9332
3.概率
答案: σ = 0.8047
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
方差
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047
答案
σ = 0.8047
4.概率
答案: σY = 11.79
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.1, Var(X) = 1.39, σX = 1.179
线性变换
σY = |10|·1.179 = 11.79
答案
σY = 11.79
均值确实会改变：E(Y) = 10·3.1 + 1 = 32。
5.正态分布
答案: z = 2.03
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9576)/2 = 0.9788
反向查 z 表
在表中找到 0.9788，读出 z。
z = 2.03
答案
z = 2.03
6.正态分布
答案: P = 0.9772
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.05)/0.025 = −2
概率
P = 1 − Φ(−2) = 0.9772
答案
P = 0.9772
7.置信区间
答案: 下限 = −3.248
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 3.355
误差范围
E = 3.355·19/√9 = 21.25
区间
18 ± 21.25 → [−3.248, 39.25]
答案
下限 = −3.248
8.置信区间
答案: n = 897
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.7·0.3/0.03² = 896.4
向上取整
n = 897
答案
n = 897
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.197
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 3.7/√10 = 1.17
检验统计量
t = 2.57/1.17 = 2.197
答案
t = 2.197
df = 9 时，双侧 5% 的临界值为 2.262；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 68.23 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 500 + 2.326·2 = 504.7
真实均值下的 z
z = (504.7 − 505.6)/2 = −0.474
功率
功效 = P(Z > −0.474) = 68.23%
1 − β = 68.23%
答案
1 − β = 68.23%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9784
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 10646 − 120·516/6 = 326
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 45962 − 516²/6 = 1586
相关系数
r = 326/√(70·1586) = 0.9784
答案
r = 0.9784
12.线性回归与相关
答案: e = −3.638
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 316/6 = 52.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 123
回归直线
b = 123/17.5 = 7.029
a = 52.67 − 7.029·4.5 = 21.04
ŷ = 21.04 + 7.029·x
预测值
ŷ = 21.04 + 7.029·3.5 = 45.64
残差
e = 42 − 45.64 = −3.638
答案
e = −3.638
该点位于直线下方。
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