统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：59, 58, 35, 23, 18, 22。

n = 6

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 540 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 40x = 540

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.05, 0.3, 0.35, 0.15

σ =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = −2X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.1, 0.35, 0.25Y = −2X + 20

σ_Y =

5.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 24.8 和 42.8 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 24.8x₂ = 42.8

P =

6.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 10%

x = 分

7.置信区间中等

基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 8.9。用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

90%n₁ = 50E₁ = 8.995%

E₂ =

8.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.15 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.02？

p ≈ 0.15E = 0.0290%

n =

9.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 50.35，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 50.35s = 5n = 100

t =

10.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 101.4。总体标准差为 5。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 101.4σ = 5n = 6499%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4.5 时的 ŷ。

n = 6x = 4.5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 18.45

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 215/6 = 35.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = 23.17² + 22.17² + (−0.8333)² + (−12.83)² + (−17.83)² + (−13.83)² = 1703

标准差

s = √(1703/5) = 18.45

答案

s = 18.45

2.描述统计

答案: z = 1

标准化

z = (540 − 500)/40 = 1

答案

z = 1

3.概率

答案: σ = 1.229

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.15 + 1·0.05 + 2·0.3 + 3·0.35 + 4·0.15 = 2.3

平方的均值

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.05 + 4·0.3 + 9·0.35 + 16·0.15 = 6.8

方差

Var(X) = 6.8 − 2.3² = 1.51

σ = √1.51 = 1.229

答案

σ = 1.229

4.概率

答案: σ_Y = 2.322

X 的离散程度

μ = 1.55, Var(X) = 1.348, σ_X = 1.161

线性变换

σ_Y = |−2|·1.161 = 2.322

答案

σ_Y = 2.322

均值确实会改变：E(Y) = −2·1.55 + 20 = 16.9。

5.正态分布

答案: P = 0.849

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (24.8 − 32)/6 = −1.2

z₂ = (42.8 − 32)/6 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−1.2) = 0.9641 − 0.1151 = 0.849

答案

P = 0.849

6.正态分布

答案: x = 80.78 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 100 + −1.282·15 = 80.78 分

答案

x = 80.78 分

7.置信区间

答案: E₂ = 10.6

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(50/50) = 1.191

新的误差范围

E₂ = 8.9·1.191 = 10.6

答案

E₂ = 10.6

8.置信区间

答案: n = 863

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.15·0.85/0.02² = 862.5

向上取整

n = 863

答案

n = 863

9.假设检验与置信区间

答案: t = 0.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

检验统计量

t = (50.35 − 50)/0.5 = 0.7

答案

t = 0.7

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 103

误差范围

E = 2.576·5/√64 = 1.61

区间端点

U = 101.4 + 1.61 = 103

答案

U = 103

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9844

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 309/6 = 51.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 259

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 973.5

决定系数

r² = 259²/(70·973.5) = 0.9844

答案

r² = 0.9844

y 的变异中约有 98.44% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 60.99

均值

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 404/6 = 67.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111

回归直线

b = 111/17.5 = 6.343

a = 67.33 − 6.343·5.5 = 32.45

ŷ = 32.45 + 6.343·x

预测

ŷ = 32.45 + 6.343·4.5 = 60.99

答案

ŷ = 60.99

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