统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：10, 10, 33, 29, 52。

n = 5

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值高于 540 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 40x = 540

P =

3.概率中等

一颗均匀骰子掷 3 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 3

P =

4.概率困难

测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.7

P =

5.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 164 和 188.85 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 188.85

P =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.置信区间中等

一个包含 16 个个体的样本，均值为 102，标准差 s = 13.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 16x̄ = 102s = 13.590%t(15) = 1.753

下限 =

8.置信区间困难

11 根机加工轴的直径样本标准差为 5.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 10 时，χ² 分布有 2.5% 位于 3.247 以下，2.5% 位于 20.483 以上。

n = 11s = 5.7 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 118.5，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 118.5s = 15n = 81

t =

10.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 90 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 30 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 90n₁ = 300x₂ = 30n₂ = 120

z =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 62？

n = 5ŷ = 62

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 17.63

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 134/5 = 26.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16.8)² + (−16.8)² + 6.2² + 2.2² + 25.2² = 1243

标准差

s = √(1243/4) = 17.63

答案

s = 17.63

2.描述统计

答案: P = 0.1587

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

3.概率

答案: P = 0.4213

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

答案

P = 0.4213

4.概率

答案: P = 0.0001437

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.3¹⁰ = 5.905 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 10·0.7·0.3⁹ = 0.0001378

相加

P = 5.905 × 10⁻⁶ + 0.0001378 = 0.0001437

答案

P = 0.0001437

5.正态分布

答案: P = 0.9167

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (188.85 − 178)/7 = 1.55

中间面积

P = Φ(1.55) − Φ(−2) = 0.9394 − 0.02275 = 0.9167

答案

P = 0.9167

6.正态分布

答案: x = 533.7 h

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 500 + 0.8416·40 = 533.66 h

答案

x = 533.66 h

7.置信区间

答案: 下限 = 96.08

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 1.753

误差范围

E = 1.753·13.5/√16 = 5.916

区间

102 ± 5.916 → [96.08, 107.9]

答案

下限 = 96.08

8.置信区间

答案: σ = 10 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 10·5.7² = 324.9

σ² 的限值

324.9/20.483 = 15.86

324.9/3.247 = 100.1

σ 的限值

σ = √100.1 = 10 µm

答案

σ = 10 µm

σ 的 95% 区间：[3.983, 10] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: t = −0.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√81 = 15/9 = 1.667

检验统计量

t = (118.5 − 120)/1.667 = −0.9

答案

t = −0.9

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: z = 1.025

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 90/300 = 0.3

p̂₂ = 30/120 = 0.25

p̂ = 120/420 = 0.2857

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2857·0.7143·(1/300 + 1/120)) = 0.0488

检验统计量

z = (0.3 − 0.25)/0.0488 = 1.025

答案

z = 1.025

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.955

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 446/6 = 74.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 847.3

决定系数

r² = 119²/(17.5·847.3) = 0.955

答案

r² = 0.955

y 的变异中约有 95.5% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: x = 6.072

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 339/5 = 67.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250

回归直线

b = 250/40 = 6.25

a = 67.8 − 6.25·7 = 24.05

ŷ = 24.05 + 6.25·x

解出 x

x = (62 − 24.05)/6.25 = 6.072

答案

x = 6.072

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