描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：55, 35, 42, 29, 60。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。求成绩 115 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 10x = 115
z =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 3 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 3
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.2, 0.25, 0.3Y = 0.5X + 4
σY =
5.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 33.3 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 33.3 min
P =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
7.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 19.5，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 9x̄ = 19.5s = 1095%t(8) = 2.306
下限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 42 kg，标准差 5.5 kg。地块组 2：10 块地，均值 34.5 kg，标准差 1 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 7x̄₁ = 42s₁ = 5.5n₂ = 10x̄₂ = 34.5s₂ = 195%t(15) = 2.131
上限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 198.9，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 198.9s = 4n = 64
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 40 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 98 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 40n₁ = 80x₂ = 98n₂ = 250
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 83Σx² = 220Σy² = 1683Σxy = 608
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 6x = 3.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 221/5 = 44.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = 10.8² + (−9.2)² + (−2.2)² + (−15.2)² + 15.8² = 686.8
标准差
s = √(686.8/4) = 13.1
答案
s = 13.1
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (115 − 100)/10 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: P = 0.4213
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213
答案
P = 0.4213
4.概率
答案: σY = 0.5788
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.6, Var(X) = 1.34, σX = 1.158
线性变换
σY = |0.5|·1.158 = 0.5788
答案
σY = 0.5788
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1.6 + 4 = 4.8。
5.正态分布
答案: P = 0.3015
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (33.3 − 32)/2.5 = 0.52
上尾
P = 1 − Φ(0.52) = 1 − 0.6985 = 0.3015
答案
P = 0.3015
6.正态分布
答案: x = 448.7 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h
答案
x = 448.74 h
7.置信区间
答案: 下限 = 11.81
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·10/√9 = 7.687
区间
19.5 ± 7.687 → [11.81, 27.19]
答案
下限 = 11.81
8.置信区间
答案: 上限 = 11.24 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·5.5² + 9·1²)/15 = 12.7
sp = 3.564
误差范围
E = 2.131·3.564·√(1/7 + 1/10) = 3.742
区间
7.5 ± 3.742 → [3.758, 11.24]
答案
上限 = 11.24 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5
检验统计量
t = (198.9 − 200)/0.5 = −2.2
答案
t = −2.2
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 1.705
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 40/80 = 0.5
p̂₂ = 98/250 = 0.392
p̂ = 138/330 = 0.4182
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4182·0.5818·(1/80 + 1/250)) = 0.06336
检验统计量
z = (0.5 − 0.392)/0.06336 = 1.705
答案
z = 1.705
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9956
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 608 − 30·83/5 = 110
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1683 − 83²/5 = 305.2
相关系数
r = 110/√(40·305.2) = 0.9956
答案
r = 0.9956
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 20.83
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 125/6 = 20.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27.5
回归直线
b = −27.5/17.5 = −1.571
a = 20.83 − (−1.571)·3.5 = 26.33
ŷ = 26.33 − 1.571·x
预测
ŷ = 26.33 + (−1.571)·3.5 = 20.83
答案
ŷ = 20.83
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