统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：15, 15, 58, 48, 42, 40, 27。

n = 7

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 5。求成绩 52.5 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 5x = 52.5

z =

3.概率中等

从 6 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 6k = 2

N =

4.概率困难

一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.25k = 3

P =

5.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 12 个的总质量低于 486.2 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12< 486.2 g

P =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 60% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

7.置信区间中等

测量 16 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 4.4，标准差为 5.8。求平均差值的 90% 置信区间的上限。

n = 16d̄ = 4.4s_d = 5.890%t(15) = 1.753

上限 = mmHg

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：15 块地，平均产量 97.5 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：6 块地，均值 105 kg，标准差 5.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 15x̄₁ = 97.5s₁ = 4.5n₂ = 6x̄₂ = 105s₂ = 5.599%t(19) = 2.861

上限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：60 个零件的样本平均长度为 71.5 mm，该生产线的已知标准差为 3 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 68.2 mm，已知标准差为 13 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 60x̄₁ = 71.5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 100x̄₂ = 68.2 mmσ₂ = 13 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

25 次测量的样本均值为 210。总体标准差为 20。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 210σ = 20n = 2590%

L =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (6, 56)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(6, 56)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 16.51

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 245/7 = 35

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−20)² + (−20)² + 23² + 13² + 7² + 5² + (−8)² = 1636

标准差

s = √(1636/6) = 16.51

答案

s = 16.51

2.描述统计

答案: z = −1.5

标准化

z = (52.5 − 60)/5 = −1.5

答案

z = −1.5

3.概率

答案: N = 15

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

答案

N = 15

4.概率

答案: P = 0.2336

二项分布公式

P(X = 3) = 84·0.25³·0.75⁶ = 84·0.01563·0.178 = 0.2336

答案

P = 0.2336

5.正态分布

答案: P = 0.9319

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 480 g, σ_T = 1.2·√12 = 4.157 g

标准化

z = (486.2 − 480)/4.157 = 1.49

概率

P = Φ(1.49) = 0.9319

答案

P = 0.9319

6.正态分布

答案: x = 510 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.6

由表得到的 z

z ≈ 0.25

回到原来的单位

x = 500 + 0.25·40 = 510 h

答案

x = 510 h

7.置信区间

答案: 上限 = 6.942 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 15, t = 1.753

误差范围

E = 1.753·5.8/√16 = 2.542

区间

4.4 ± 2.542 → [1.858, 6.942]

答案

上限 = 6.942 mmHg

8.置信区间

答案: 上限 = −0.8893 kg

合并标准差

s_p² = (14·4.5² + 5·5.5²)/19 = 22.88

s_p = 4.783

误差范围

E = 2.861·4.783·√(1/15 + 1/6) = 6.611

区间

−7.5 ± 6.611 → [−14.11, −0.8893]

答案

上限 = −0.8893 kg

9.假设检验与置信区间

答案: z = 2.433

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(3²/60 + 13²/100) = √1.84 = 1.356

检验统计量

z = (71.5 − 68.2)/1.356 = 2.433

答案

z = 2.433

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: L = 203.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·20/√25 = 6.58

区间端点

L = 210 − 6.58 = 203.4

答案

L = 203.4

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9719

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 235/5 = 47

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 626

决定系数

r² = 156²/(40·626) = 0.9719

答案

r² = 0.9719

y 的变异中约有 97.19% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: e = −3.7

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 280/5 = 56

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

回归直线

b = 148/40 = 3.7

a = 56 − 3.7·5 = 37.5

ŷ = 37.5 + 3.7·x

预测值

ŷ = 37.5 + 3.7·6 = 59.7

残差

e = 56 − 59.7 = −3.7

答案

e = −3.7

该点位于直线下方。

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